Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique em poucas palavras.
a.
\int \sqrt{2 x+1} d x=\sqrt{x^{2}+x+C}
b.
\int \sqrt{2 x+1} d x=\sqrt{x^{2}+x}+C
c.
\int \sqrt{2 x+1} d x-\frac{1}{3}(\sqrt{2 x+1})^{3}+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as fórmulas propostas para
\int \sqrt{2x+1}\,dx
estão corretas. O conteúdo principal é integração por substituição, usando u=2x+1.

Passo 2

Fazendo u=2x+1 temos du=2\,dx ou dx=\tfrac12\,du. Assim,
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \tfrac12 \int u^{1/2}\,du = \tfrac12 \cdot \frac{u^{3/2}}{\tfrac32} + C = \frac{1}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} + C.

Passo 3

Na fórmula (a) aparece \sqrt{x^{2}+x+C}, que é estruturalmente diferente de \tfrac{1}{3}(2x+1)^{3/2}. Logo, (a) está errada.

Passo 4

Na fórmula (b) aparece \sqrt{x^{2}+x}+C, que também não coincide com \tfrac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C. Logo, (b) está errada.

Passo 5

A expressão (c)
\int \sqrt{2x+1}\,dx - \tfrac{1}{3}(\sqrt{2x+1})^{3} + c
não é uma igualdade válida (nem o sinal está correto para a antiderivada). Logo, (c) está errada.

Resposta

(a) Errada
(b) Errada
(c) Errada

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