Uma esfera de raio \mathrm{r}_{0} e densidade \rho_{0} cai, com velocidade v em um fluido de densidade \rho e viscosidade \mu. Tubos verticais de raio r são usados para verificar a velocidade de queda da esfera. Obter, pelo teorema dos \Pi, o conjunto de parâmetros adimensionais envolvidos na determinação da velocidade de queda da esfera. Tomar como variáveis básicas \mathrm{r}_{0}, \rho_{0} \mathrm{e} \mu.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio r_{0} e densidade \rho_{0} caindo com velocidade terminal v em um fluido de densidade \rho e viscosidade \mu. Queremos, usando o Teorema de Buckingham \Pi, encontrar os parâmetros adimensionais que relacionam essas variáveis, tomando r_{0}, \rho_{0} e \mu como variáveis básicas (repetitivas).

Passo 2

Listamos todas as variáveis relevantes que influenciam v: \displaystyle v,\;r_{0},\;\rho_{0},\;\mu,\;\rho,\;r.
São n=6 variáveis e as dimensões fundamentais envolvidas são massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Logo teremos
\#\Pi = n - F = 6 - 3 = 3
grupos adimensionais.

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetitivas (mustreantes) r_{0} L]\), \(\rho_{0}\)\[M\,L^{-3}]\) e \(\mu\)\[M\,L^{-1}T^{-1}]\). Elas combinam todas as dimensões \(M,L,T\) e são independentes entre si.

Passo 4

Formamos o primeiro grupo
\Pi_{1} = v \;r_{0}^{a}\;\rho_{0}^{b}\;\mu^{c}.
Dimensionalmente:
[v]=L\,T^{-1},\quad [r_{0}]=L,\quad [\rho_{0}]=M\,L^{-3},\quad [\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}.
Então
L^{1}T^{-1}\;M^{0} \;L^{a}\;M^{b}L^{-3b}\;M^{c}L^{-c}T^{-c} =L^{1+a-3b-c}M^{b+c}T^{-1-c}
deve ser adimensional, ou seja
\begin{cases} 1 + a - 3b - c = 0,\\\ b + c = 0,\\\\ -1 - c = 0. \end{cases}
Da terceira equação c=-1. Da segunda b=1. Da primeira 1 + a -3(1) -(-1)=0\implies 1 + a -3 +1=0\implies a=1.
Logo
\Pi_{1}=\frac{\rho_{0}\,v\,r_{0}}{\mu}.

Passo 5

Formamos o segundo grupo com \rho:
\Pi_{2}=\rho\;r_{0}^{d}\;\rho_{0}^{e}\;\mu^{f}.
Repetindo o processo, obtemos imediatamente a razão de densidades como único resultado adimensional:
\Pi_{2}=\frac{\rho}{\rho_{0}}.

Passo 6

Formamos o terceiro grupo com r:
\Pi_{3}=r\;r_{0}^{g}\;\rho_{0}^{h}\;\mu^{i}.
Analogamente, a única combinação sem dimensões é a razão de comprimentos:
\Pi_{3}=\frac{r}{r_{0}}.

Resposta

Os três parâmetros adimensionais são
\Pi_{1}=\frac{\rho_{0}\,v\,r_{0}}{\mu}, \quad \Pi_{2}=\frac{\rho}{\rho_{0}}, \quad \Pi_{3}=\frac{r}{r_{0}}.

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