Estabelecer, a partir do método de Rayleigh e do teorema dos \Pi, a forma da expressão que fornece a tensão tangencial na parede de um tubo com escoamento a seção plena se a relação que a define é \tau_{0}=\mathrm{f}(\mathrm{U}, \mathrm{D}, \rho, \mu, \mathrm{k}). Usar \rho, U e D como variáveis repetidas.

Passo 1

O enunciado pede para usar análise dimensional (método de Rayleigh e teorema dos \Pi) para encontrar a forma da relação \tau_{0}=f(U,D,\rho,\mu,k)
de modo a expressar a tensão tangencial na parede em termos de grupos adimensionais. Vamos usar \rho, U e D como variáveis repetidas.

Passo 2

Identificamos as variáveis envolvidas e suas dimensões fundamentais ( \mathrm{M} massa, \mathrm{L} comprimento, \mathrm{T} tempo):
\tau_{0}: tensão – dimensão \mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-2}}
U: velocidade – dimensão \mathrm{L\,T^{-1}}
D: comprimento característico (diâmetro) – dimensão \mathrm{L}
\rho: densidade – dimensão \mathrm{M\,L^{-3}}
\mu: viscosidade dinâmica – dimensão \mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}}
k: rugosidade – dimensão \mathrm{L}

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidas \rho, U e D porque entre elas conseguimos montar as três dimensões básicas \mathrm{M}, \mathrm{L}, \mathrm{T} e elas aparecem em quase todas as variáveis.

Passo 4

Formamos o primeiro \Pi envolvendo \tau_{0}:
\Pi_{1}=\tau_{0}\,\rho^{a}\,U^{b}\,D^{c}.
Queremos que \Pi_{1} seja adimensional. Dimensionalmente, \tau_{0}:\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-2}},\;\rho^{a}:\mathrm{M^{a}\,L^{-3a}},\;U^{b}:\mathrm{L^{b}\,T^{-b}},\;D^{c}:\mathrm{L^{c}}.
Somando expoentes em \mathrm{M,L,T} e igualando a zero:
– M: 1 + a = 0 a=-1
– L: -1 -3a + b + c = 0 -1 +3 + b + c =0 b + c = -2
– T: -2 - b = 0 b = -2
Logo c=0. Assim
\Pi_{1}=\frac{\tau_{0}}{\rho\,U^{2}}.

Passo 5

Formamos \Pi_{2} com \mu:
\Pi_{2}=\mu\,\rho^{a}\,U^{b}\,D^{c}.
Dimensionalmente, \mu:\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}}. Seguindo o mesmo processo:
– M: 1 + a = 0 a=-1
– L: -1 -3a + b + c = 0 -1 +3 + b + c =0 b + c = -2
– T: -1 - b = 0 b = -1
Logo c=-1. Assim
\Pi_{2}=\frac{\mu}{\rho\,U\,D}=\frac{1}{\mathrm{Re}}.

Passo 6

Formamos \Pi_{3} com k:
\Pi_{3}=k\,\rho^{a}\,U^{b}\,D^{c}.
Como k tem dimensão \mathrm{L}, repetindo:
– M: 0 + a = 0 a=0
– L: 1 -3a + b + c = 0 1 + b + c =0
– T: 0 - b = 0 b=0
Logo c=-1. Assim
\Pi_{3}=\frac{k}{D}.

Passo 7

Pelo teorema dos \Pi, a relação original se reduz a
\Pi_{1}=\varphi\bigl(\Pi_{2},\Pi_{3}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad \frac{\tau_{0}}{\rho\,U^{2}}=\varphi\!\Bigl(\frac{\mu}{\rho\,U\,D},\frac{k}{D}\Bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\tau_{0}}{\rho\,U^{2}}=\varphi\!\Bigl(\frac{1}{\mathrm{Re}},\frac{k}{D}\Bigr)\quad\Longleftrightarrow\quad \tau_{0}=\rho\,U^{2}\,\varphi\!\Bigl(\mathrm{Re},\frac{k}{D}\Bigr).}

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