Certo estudo psiquiátrico demonstrou que a distribuição mensal de suicídios entre adolescentes de determinada comunidade, entre 1977 e 1987, obedecia a uma Poisson com média lambda=2,75. Qual a probabilidade estimada de que num certo mês sorteado do ano ocorram 3 suicídios de adolescente?

Passo 1

Vamos resolver um problema que envolve distribuição de Poisson. O enunciado diz que, entre 1977 e 1987, o número de suicídios mensais de adolescentes em uma comunidade seguia uma distribuição de Poisson com média lambda = 2,75. Queremos descobrir qual é a probabilidade estimada de, em um mês aleatório, ocorrerem exatamente 3 suicídios de adolescentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 3

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • P(k; lambda) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
  • lambda é a taxa média de ocorrência.
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • k! é o fatorial de k.

Passo 4

No nosso caso, queremos a probabilidade de ocorrer exatamente 3 suicídios em um mês. Então, k = 3 e lambda = 2,75.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
P(3; 2,75) = 2,75^3 cdot e^-2,753!

Passo 6

Calculando cada parte:
  • 2,75^3 = 2,75 times 2,75 times 2,75 = 20,796875
  • e^-2,75 approx 0,063065 (usando uma calculadora)
  • 3! = 3 times 2 times 1 = 6

Passo 7

Substituindo esses valores:
P(3; 2,75) = 20,796875 times 0,0630656 approx 1,31093756 approx 0,21849

Resposta

A probabilidade estimada de ocorrerem exatamente 3 suicídios de adolescentes em um mês aleatório é aproximadamente 0,2185 ou 21,85%.

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