Muitas companhias concessionárias do fornecimento de energia têm promovido campanhas de economia de energia, oferecendo descontos aos consumidores que mantêm seus índices de consumo abaixo de certo índice pré-estabelecido. Em recente relatório revelou que
dos habitantes de determinada cidade reduziram o consumo de eletricidade suficientemente, merecendo os descontos. Se 5 domicílios foram escolhidos aleatoriamente da população desta cidade. Determine:
b) a probabilidade de pelo menos 4 terem contas reduzidas.
b) a probabilidade de pelo menos 4 terem contas reduzidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui, mais especificamente usando a Distribuição Binomial. O cenário é que 70% das pessoas de uma cidade conseguiram reduzir o consumo de eletricidade o suficiente para ganhar descontos. A gente vai pegar 5 casas aleatoriamente e quer saber qual a chance de pelo menos 4 delas terem reduzido as contas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Distribuição Binomial. Ela serve para calcular a probabilidade de um evento que tem dois resultados possíveis (como sucesso ou fracasso) acontecer um certo número de vezes em um número fixo de tentativas. A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o número de tentativas (no nosso caso, 5 casas).
- $ k $ é o número de sucessos desejados (4 ou 5 reduções).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (70% ou 0,7).
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de exatamente 4 casas terem reduzido as contas. Usando a fórmula:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, calculamos cada parte:
Multiplicando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 5 casas terem reduzido as contas:
Calculando o coeficiente binomial:
E as potências:
Multiplicando:
Passo 5
Para achar a probabilidade de pelo menos 4 casas terem reduzido as contas, somamos as probabilidades de 4 e 5 casas:
Resposta
A probabilidade de pelo menos 4 das 5 casas terem reduzido as contas é aproximadamente 52,8%.