Muitas companhias concessionárias do fornecimento de energia têm promovido campanhas de economia de energia, oferecendo descontos aos consumidores que mantêm seus índices de consumo abaixo de certo índice pré-estabelecido. Em recente relatório revelou que 70 % dos habitantes de determinada cidade reduziram o consumo de eletricidade suficientemente, merecendo os descontos. Se 5 domicílios foram escolhidos aleatoriamente da população desta cidade. Determine:
b) a probabilidade de pelo menos 4 terem contas reduzidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui, mais especificamente usando a Distribuição Binomial. O cenário é que 70% das pessoas de uma cidade conseguiram reduzir o consumo de eletricidade o suficiente para ganhar descontos. A gente vai pegar 5 casas aleatoriamente e quer saber qual a chance de pelo menos 4 delas terem reduzido as contas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Distribuição Binomial. Ela serve para calcular a probabilidade de um evento que tem dois resultados possíveis (como sucesso ou fracasso) acontecer um certo número de vezes em um número fixo de tentativas. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (no nosso caso, 5 casas).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (4 ou 5 reduções).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (70% ou 0,7).

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de exatamente 4 casas terem reduzido as contas. Usando a fórmula:
P(X = 4) = binom54 times 0,7^4 times (1-0,7)^5-4
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
binom54 = 5
Agora, calculamos cada parte:
0,7^4 = 0,2401
(1-0,7)^1 = 0,3
Multiplicando tudo:
P(X = 4) = 5 times 0,2401 times 0,3 = 0,36015

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 5 casas terem reduzido as contas:
P(X = 5) = binom55 times 0,7^5 times (1-0,7)^5-5
Calculando o coeficiente binomial:
binom55 = 1
E as potências:
0,7^5 = 0,16807
(1-0,7)^0 = 1
Multiplicando:
P(X = 5) = 1 times 0,16807 times 1 = 0,16807

Passo 5

Para achar a probabilidade de pelo menos 4 casas terem reduzido as contas, somamos as probabilidades de 4 e 5 casas:
P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,36015 + 0,16807 = 0,52822

Resposta

A probabilidade de pelo menos 4 das 5 casas terem reduzido as contas é aproximadamente 52,8%.

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