A variável aleatória Y tem densidade Poisson com parâmetro
. Obtenha:
(d)
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Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Probabilidade, mais especificamente sobre a Distribuição de Poisson. A variável aleatória Y segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ igual a 2. O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de Y ser igual a 1, dado que Y é menor que 3, ou seja, P(Y=1 | Y<3).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa essa probabilidade condicional. A probabilidade condicional P(A | B) é a probabilidade de A acontecer dado que B já aconteceu. No nosso caso, A é “Y=1” e B é “Y<3”. Então, estamos procurando P(Y=1 | Y<3).
Passo 3
A fórmula para a probabilidade condicional é:
Como Y=1 já satisfaz Y<3, isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular P(Y=1) usando a fórmula da distribuição de Poisson:
Substituindo λ=2 e k=1:
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular P(Y<3), que é a probabilidade de Y ser 0, 1 ou 2. Vamos calcular cada uma delas:
Para k=0:
Para k=1:
Para k=2:
Passo 6
Agora, somamos essas probabilidades para obter P(Y<3):
Passo 7
Finalmente, substituímos os valores na fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de Y ser 1 dado que Y é menor que 3 é 0,4.