A variável aleatória Y tem densidade Poisson com parâmetro lambda=2. Obtenha:
(d) P(Y=1 mid Y<3)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Probabilidade, mais especificamente sobre a Distribuição de Poisson. A variável aleatória Y segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ igual a 2. O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de Y ser igual a 1, dado que Y é menor que 3, ou seja, P(Y=1 | Y<3).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa essa probabilidade condicional. A probabilidade condicional P(A | B) é a probabilidade de A acontecer dado que B já aconteceu. No nosso caso, A é “Y=1” e B é “Y<3”. Então, estamos procurando P(Y=1 | Y<3).

Passo 3

A fórmula para a probabilidade condicional é:
P(Y=1 mid Y<3) = P(Y=1 cap Y<3)P(Y<3)
Como Y=1 já satisfaz Y<3, isso simplifica para:
P(Y=1 mid Y<3) = P(Y=1)P(Y<3)

Passo 4

Agora, vamos calcular P(Y=1) usando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(Y=k) = e^-lambda lambda^kk!
Substituindo λ=2 e k=1:
P(Y=1) = e^-2 cdot 2^11! = 2e^-2

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular P(Y<3), que é a probabilidade de Y ser 0, 1 ou 2. Vamos calcular cada uma delas:
Para k=0:
P(Y=0) = e^-2 cdot 2^00! = e^-2
Para k=1:
P(Y=1) = 2e^-2 (já calculado) á
Para k=2:
P(Y=2) = e^-2 cdot 2^22! = 4e^-22 = 2e^-2

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades para obter P(Y<3):
P(Y<3) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) = e^-2 + 2e^-2 + 2e^-2 = 5e^-2

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores na fórmula da probabilidade condicional:
P(Y=1 mid Y<3) = 2e^-25e^-2 = 25 = 0,4

Resposta

A probabilidade de Y ser 1 dado que Y é menor que 3 é 0,4.

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