A variável aleatória Y tem densidade Poisson com parâmetro
. Obtenha:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ Y $ que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda = 2 $. O que a gente precisa encontrar aqui é a probabilidade de $ Y $ estar entre 2 e 4, ou seja, $ \mathrm{P}(2 \leq Y < 4) $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson e calcular as probabilidades de $ Y = 2 $ e $ Y = 3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de $ Y $ ser igual a um valor específico $ k $ é dada por:
Aqui, $ e $ é a base do logaritmo natural, $ \lambda $ é o parâmetro da distribuição (no nosso caso, 2), e $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Vamos calcular $ \mathrm{P}(Y = 2) $ usando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \mathrm{P}(Y = 3) $:
Passo 5
Para encontrar $ \mathrm{P}(2 \leq Y < 4) $, somamos as probabilidades que acabamos de calcular:
Passo 6
Vamos agora calcular o valor numérico. Sabemos que $ e^{-2} \approx 0,1353 $. Então:
Resposta
A probabilidade $ \mathrm{P}(2 \leq Y < 4) $ é aproximadamente 0,451.