Dadas variáveis aleatórias Xe e com função densidade conjunta dada por
f(x, y)=e^-(x+y), x>0, y>0
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
a) S=X+Y
b) V=X / Y
c) W=max X, Y

Passo 1

Temos duas variáveis aleatórias X e Y independentes com função densidade conjunta f(x,y)=e^-(x+y), para x>0, y>0. O conteúdo da matéria envolve soma de variáveis aleatórias (convolução), transformação de variáveis para obter a razão e uso de CDF para o máximo.

Passo 2

Para obter a densidade de S=X+Y, usamos a definição de convolução de duas densidades independentes. Como fX(x)=e^-x, fY(y)=e^-y, temos
fS(s)=integral0^sfX(x),fY(s-x),dx=integral0^se^-xe^-(s-x),dx=e^-sintegral0^sdx=s e^-s, s>0

Passo 3

Para a densidade de V=X/Y, fazemos a transformação
V=XY, U=Y
Então X=V U e Y=U, com jacobiano |J|=U. A densidade conjunta de (V,U) é
fV,U(v,u)=f(vu,u),|J|=e^-u(v+1),u= u e^-u(v+1), u>0,v>0
Integrando sobre u,
fV(v)=integral0^inftyu e^-u(v+1)du=1(v+1)^2, v>0

Passo 4

Para a densidade de W=maxX,Y, primeiro achamos a CDF:
FW(w)=P(W<= w)=P(X<= w, Y<= w)=(1-e^-w)^2, w>0
Derivando em relação a w,
fW(w)=ddwFW(w)=2(1-e^-w)e^-w, w>0

Resposta

a) fS(s)=s e^-s,;s>0 b) fV(v)=1(1+v)^2,;v>0 c) fW(w)=2(1-e^-w)e^-w,;w>0

Exercícios relacionados