Dadas variáveis aleatórias Xe e com função densidade conjunta dada por
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Temos duas variáveis aleatórias X e Y independentes com função densidade conjunta
para
. O conteúdo da matéria envolve soma de variáveis aleatórias (convolução), transformação de variáveis para obter a razão e uso de CDF para o máximo.
Passo 2
Para obter a densidade de
, usamos a definição de convolução de duas densidades independentes. Como
, temos
Passo 3
Para a densidade de
, fazemos a transformação
Então
e
, com jacobiano
. A densidade conjunta de
é
Integrando sobre
,
Passo 4
Para a densidade de
, primeiro achamos a CDF:
Derivando em relação a
,
Resposta
a)
b)
c)