Mostre que a matriz
[lll 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 ]
n a ̃ o é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A=2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3
não é diagonalizável. O conteúdo envolve valores e vetores próprios, em particular comparar multiplicidade algébrica e geométrica dos autovalores.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico det (A-lambda I). Como A é triangular, temos
det(A-lambda I)=(2-lambda)^2(3-lambda)
Assim os autovalores são lambda1=2 com multiplicidade algébrica 2 e lambda2=3 com multiplicidade 1.

Passo 3

Agora calculamos o espaço próprio de lambda=2 resolvendo
(A-2I)v=0
ou seja
0 & 1 & 00 & 0 & 10 & 0 & 1 xyz =000
Dessa forma as equações dão y=0 e z=0, ficando x livre. Logo o espaço próprio é gerado por (1,0,0)^T e tem dimensão 1.

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1, mas sua multiplicidade algébrica é 2, não há vetores próprios suficientes para formar uma base de R^3. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável, pois para o autovalor 2 a dimensão do espaço próprio é 1, inferior à multiplicidade algébrica 2.

Exercícios relacionados