Uma esfera maciça e homogênea de raio
e massa
está descendo de um plano inclinado desde uma altura
, medido desde o chão. Se ela rola sem deslizar, determine a velocidade
que ela chega no final do plano. Se, agora deixarmos um aro cilíndrico de mesma massa e mesmo raio rolar da mesma altura
, sem deslizar, determine a razão
entre as velocidades do aro e da esfera após chegarem no final do plano, se ambas partem do repouso.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera maciça e homogênea de raio
, massa
e altura inicial
, rolando sem deslizar. Pede (i) a velocidade
da esfera ao final do plano e (ii) a razão
se rolarmos, da mesma altura, um aro cilíndrico de mesma massa e mesmo raio. O conteúdo principal é conservação de energia mecânica incluindo energia de rotação com a condição de rolamento sem deslizamento (
).
Passo 2
Para a esfera, escrevemos conservação de energia:
onde
e
. Substituindo,
Isolando
,
Passo 3
Substituindo
e
,
Passo 4
Para o aro cilíndrico (caso de um “anel” fino), temos
. De modo análogo,
Passo 5
A razão entre as velocidades é
Resposta
A velocidade da esfera ao final do plano é
A razão entre as velocidades do aro e da esfera é