Uma esfera maciça e homogênea de raio R=0,1 \mathrm{~m} e massa M=8 \mathrm{~kg} está descendo de um plano inclinado desde uma altura h=0,5 \mathrm{~m}, medido desde o chão. Se ela rola sem deslizar, determine a velocidade V que ela chega no final do plano. Se, agora deixarmos um aro cilíndrico de mesma massa e mesmo raio rolar da mesma altura h, sem deslizar, determine a razão \frac{V_{\text {aro }}}{V_{\text {esf }}} entre as velocidades do aro e da esfera após chegarem no final do plano, se ambas partem do repouso.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera maciça e homogênea de raio R=0,1\,\mathrm{m}, massa M=8\,\mathrm{kg} e altura inicial h=0,5\,\mathrm{m}, rolando sem deslizar. Pede (i) a velocidade V da esfera ao final do plano e (ii) a razão \tfrac{V_{\text{aro}}}{V_{\text{esf}}} se rolarmos, da mesma altura, um aro cilíndrico de mesma massa e mesmo raio. O conteúdo principal é conservação de energia mecânica incluindo energia de rotação com a condição de rolamento sem deslizamento ( V=\omega R).

Passo 2

Para a esfera, escrevemos conservação de energia:
M g h \;=\;\tfrac12\,M V^2 \;+\;\tfrac12\,I_{\text{esf}}\,\omega^2,
onde I_{\text{esf}}=\tfrac25\,M R^2 e \omega=V/R. Substituindo,
M g h =\tfrac12\,M V^2 + \tfrac12\bigl(\tfrac25\,M R^2\bigr)\bigl(\tfrac{V^2}{R^2}\bigr) =\Bigl(\tfrac12 + \tfrac15\Bigr)M V^2 =\tfrac{7}{10}\,M V^2.
Isolando V,
V^2 = \frac{10}{7}\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad V = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,h}.

Passo 3

Substituindo g=9,8\,\mathrm{m/s^2} e h=0,5\,\mathrm{m},
V = \sqrt{\frac{10}{7}\times 9{,}8\times 0{,}5} = \sqrt{7} \approx 2{,}65\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Para o aro cilíndrico (caso de um “anel” fino), temos I_{\text{aro}}=M R^2. De modo análogo,
M g h = \tfrac12\,M V_{\text{aro}}^2 + \tfrac12\,M R^2\bigl(\tfrac{V_{\text{aro}}^2}{R^2}\bigr) = M V_{\text{aro}}^2 \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{aro}} = \sqrt{g\,h}.

Passo 5

A razão entre as velocidades é
\frac{V_{\text{aro}}}{V_{\text{esf}}} = \frac{\sqrt{g\,h}}{\sqrt{\tfrac{10}{7}\,g\,h}} = \sqrt{\frac{7}{10}} \approx 0{,}84.

Resposta

A velocidade da esfera ao final do plano é
V = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,h}\approx 2{,}65\;\mathrm{m/s}.
A razão entre as velocidades do aro e da esfera é
\frac{V_{\text{aro}}}{V_{\text{esf}}} = \sqrt{\frac{7}{10}}\approx 0{,}84.

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