Um objeto 1 de m_{1}=2 \mathrm{~kg} movendo-se para a direita em uma pista sem atrito a 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} colide frontalmente com um objeto 2 de m_{2}=4 \mathrm{~kg} que está inicialmente em repouso. Se o coeficiente de restituição for e=3 / 4, \mathbf{a}) Calcule as velocidades após a colisão. b) Determine a energia percentual perdida na colisão.

Passo 1

O enunciado descreve uma colisão frontal unidimensional entre dois corpos sem atrito: o corpo 1 tem massa m_{1}=2\\ \mathrm{kg} e velocidade inicial u_{1}=6\\ \mathrm{m/s} (positiva para a direita) e o corpo 2 tem massa m_{2}=4\\ \mathrm{kg} e está em repouso ( u_{2}=0). O coeficiente de restituição vale e=3/4. Precisamos calcular:
a) as velocidades finais v_{1} e v_{2} após a colisão;
b) a energia percentual perdida no choque.
Conteúdo usado: conservação da quantidade de movimento e condição de restituição para colisões inelásticas.

Passo 2

Escrevemos as duas equações fundamentais:
Conservação da quantidade de movimento
m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} \;=\; m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}
Condição de restituição
e \;=\; \frac{v_{2}-v_{1}}{u_{1}-u_{2}}

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos em cada equação:
2\cdot6 + 4\cdot0 = 2\,v_{1} + 4\,v_{2} \quad\Longrightarrow\quad 6 = v_{1} + 2\,v_{2}
\frac{3}{4} = \frac{v_{2}-v_{1}}{6} \quad\Longrightarrow\quad v_{2}-v_{1} = 6\cdot\frac{3}{4} = 4{,}5
Resolvendo o sistema
\begin{cases} v_{2} - v_{1} = 4{,}5,\\\ v_{1} + 2v_{2} = 6, \end{cases}
obtemos
v_{1} = -1\\ \mathrm{m/s}, \quad v_{2} = 3{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calculamos as energias cinéticas inicial e final:
Energia inicial
K_{i} = \tfrac12 m_{1}u_{1}^{2} + \tfrac12 m_{2}u_{2}^{2} = \tfrac12\cdot2\cdot6^{2} + 0 = 36\\ \mathrm{J}.
Energia final
K_{f} = \tfrac12 m_{1}v_{1}^{2} + \tfrac12 m_{2}v_{2}^{2} = \tfrac12\cdot2\cdot(-1)^{2} + \tfrac12\cdot4\cdot(3{,}5)^{2} = 1 + 24{,}5 = 25{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 5

A energia perdida é
\Delta K = K_{i} - K_{f} = 36 - 25{,}5 = 10{,}5\\ \mathrm{J}.
O percentual perdido em relação à inicial é
\frac{\Delta K}{K_{i}}\times100\% = \frac{10{,}5}{36}\times100\% \approx 29{,}17\%.

Resposta

a) v_{1} = -1\\ \mathrm{m/s} (volta para a esquerda) e v_{2} = 3{,}5\\ \mathrm{m/s} (para a direita).
b) Aproximadamente 29{,}2\% da energia cinética inicial é perdida.

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