Em um certo grupo de pessoas, 40 falam inglês, 32 falam espanhol, 20 falam francês, 12 falam inglês e espanhol, 8 falam inglês e francês, 6 falam espanhol e francês, 2 falam as 3 línguas e 12 não falam nenhuma das línguas. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de essa pessoa falar espanhol ou francês?
a)
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b)
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c)
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d)
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e)
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a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado diz que em um grupo temos 40 que falam inglês (E), 32 que falam espanhol (S), 20 que falam francês (F), interseções dadas por |E∩S|=12, |E∩F|=8, |S∩F|=6, |E∩S∩F|=2 e 12 que não falam nenhuma. O que queremos é a probabilidade de falar espanhol ou francês, ou seja, P(S∪F). Vamos usar teoria de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Para determinar o tamanho total do grupo N, primeiro calculamos quantas pessoas falam pelo menos uma língua aplicando o princípio da inclusão-exclusão, que soma os tamanhos individuais, subtrai as duplas e adiciona a tripla (pois foi subtraída duas vezes):
Em seguida, somamos quem não fala nenhuma língua:
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Passo 3
Agora calculamos o número de pessoas que falam espanhol ou francês usando inclusão-exclusão em dois conjuntos:
Passo 4
Por fim, a probabilidade pedida é
Resposta
57,5%