Em um certo grupo de pessoas, 40 falam inglês, 32 falam espanhol, 20 falam francês, 12 falam inglês e espanhol, 8 falam inglês e francês, 6 falam espanhol e francês, 2 falam as 3 línguas e 12 não falam nenhuma das línguas. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de essa pessoa falar espanhol ou francês?
a) 7,5 %.
b) 40 %.
c) 50 %.
d) 57,5 %.
e) 67,5 %.

Passo 1

O enunciado diz que em um grupo temos 40 que falam inglês (E), 32 que falam espanhol (S), 20 que falam francês (F), interseções dadas por |E∩S|=12, |E∩F|=8, |S∩F|=6, |E∩S∩F|=2 e 12 que não falam nenhuma. O que queremos é a probabilidade de falar espanhol ou francês, ou seja, P(S∪F). Vamos usar teoria de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Para determinar o tamanho total do grupo N, primeiro calculamos quantas pessoas falam pelo menos uma língua aplicando o princípio da inclusão-exclusão, que soma os tamanhos individuais, subtrai as duplas e adiciona a tripla (pois foi subtraída duas vezes):
|E cup S cup F| = 40 + 32 + 20 - (12 + 8 + 6) + 2 = 68
Em seguida, somamos quem não fala nenhuma língua: N = 68 + 12 = 80.

Passo 3

Agora calculamos o número de pessoas que falam espanhol ou francês usando inclusão-exclusão em dois conjuntos:
|S cup F| = |S| + |F| - |S cap F| = 32 + 20 - 6 = 46

Passo 4

Por fim, a probabilidade pedida é
P(S cup F) = |S cup F|N = 4680 = 0,575 = 57,5%

Resposta

57,5%

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