Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o valor de \frac{d^{2} y}{d x^{2}} nesse ponto.
x=t, \quad y=\sqrt{t}, \quad t=\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado fornece as equações paramétricas
x = t,\qquad y = \sqrt{t},
e pede duas coisas no ponto t=\tfrac{1}{4}:
  • uma equação da reta tangente à curva naquele ponto;
  • o valor de \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} nesse ponto.
Informações relevantes que já temos (do enunciado):
x\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{1}{4},\qquad y\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Precisamos da inclinação da tangente \dfrac{dy}{dx} em função de t. Para curvas paramétricas a relação entre derivadas é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Vou aplicar isso: primeiro calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.

Passo 3

Regra de potência (pequena aula): se f(t)=t^{n} então f'(t)=n\,t^{n-1}. Aqui y=t^{1/2}, logo
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}\,t^{-1/2}.
E como x=t,
\frac{dx}{dt}=1.

Passo 4

Agora use a fórmula paramétrica da derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{\tfrac{1}{2}\,t^{-1/2}}{1}=\frac{1}{2}\,t^{-1/2}.
Avalie em t=\tfrac{1}{4}. Primeiro calcule t^{-1/2} para t=\tfrac{1}{4}:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{\tfrac{1}{4}}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Portanto a inclinação da tangente é
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot 2=1.

Passo 5

Equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação): se a inclinação é m e o ponto é (x_0,y_0) então
y-y_0=m(x-x_0).
Aqui m=1 e (x_0,y_0)=\bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\bigr). Substituindo:
y-\tfrac{1}{2}=1\cdot\bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr).
Simplificando:
y = x + \tfrac{1}{4}.

Passo 6

Agora calculamos a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Para curvas paramétricas a fórmula geral é
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}.
Como \dfrac{dx}{dt}=1, isso simplifica para
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\,t^{-1/2}\right).
Usando regra de potência novamente:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\,t^{-3/2}=-\frac{1}{4}\,t^{-3/2}.

Passo 7

Avalie \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} em t=\tfrac{1}{4}. Calcule primeiro \left(\tfrac{1}{4}\right)^{-3/2}. Uma maneira:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{3/2}=\bigl(\sqrt{\tfrac{1}{4}}\bigr)^{3}=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}=\tfrac{1}{8},
então o inverso é
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-3/2}=8.
Logo
\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{t=\tfrac{1}{4}}=-\frac{1}{4}\cdot 8=-2.

Resposta

y = x + \tfrac{1}{4}
\displaystyle \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{t=\tfrac{1}{4}} = -2

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