Em um certo instante um ciclista está a 31.6 m a leste do mastro de um parque, indo para o sul com uma velocidade de 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Após 25 s o ciclista está 31.6 m ao norte do mastro, dirigindo-se para o leste com uma velocidade de 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para o ciclista, durante esse intervalo de 25 s quais são:
a) O vetor posição inicial do ciclista, em t=0 \mathrm{~s} ?
\vec{r}(0)=\square \hat{i}+\square \hat{j}(\mathrm{~m})
b) O vetor posição final do ciclista, em t=25 \mathrm{~s} ?
\vec{r}(25)=\square \hat{i}+\square \hat{j}(\mathrm{~m})
c) O vetor deslocamento do ciclista, desde t=0 até t=25 \mathrm{~s} ?
\Delta \vec{r}=\square \hat{i}+\square \hat{j}(\mathrm{~m})
d) O módulo do deslocamento do ciclista, desde t=0 até t=25 \mathrm{~s} ?
\square
e) A direção do deslocamento, dado em graus?
\square
f) O módulo da velocidade média, de t=0 \mathrm{~s} até t=25 \mathrm{~s} ?
\square
g) O vetor \Delta \vec{v} do ciclista, desde t=0 até t=25 \mathrm{~s} ?
\Delta \vec{v}=\square \hat{i}+\square \hat{j}(\mathrm{~m} / \mathrm{s})
h) O módulo da aceleração média, desde t=0 até t=25 \mathrm{~s}, em m / s^{2} ?
\square

Passo 1

O enunciado descreve um ciclista movendo-se num plano XY, tendo o mastro como origem O. Em t=0 o ciclista está a 31,6 m a leste de O (posição (x,y)=(31{,}6,0)) e sua velocidade é para o sul com v(0)=(0,-16) m/s. Em t=25 s ele está a 31,6 m ao norte de O (posição (x,y)=(0,31{,}6)) e sua velocidade é para o leste com v(25)=(16,0) m/s. Precisamos usar conceitos de posição, deslocamento, velocidade média e aceleração média em duas dimensões.

Passo 2

Posições inicial e final no sistema de eixos com origem no mastro:
\displaystyle \vec r(0)=31{,}6\,\hat\imath+0\,\hat\jmath \displaystyle \vec r(25)=0\,\hat\imath+31{,}6\,\hat\jmath

Passo 3

Deslocamento do ciclista de t=0 a t=25 s:
\Delta\vec r=\vec r(25)-\vec r(0) =(-31{,}6)\,\hat\imath+(31{,}6)\,\hat\jmath\text{ m}.

Passo 4

Módulo do deslocamento:
|\Delta\vec r| =\sqrt{(-31{,}6)^2+(31{,}6)^2} =31{,}6\sqrt{2}\approx44{,}7
m.

Passo 5

Direção do deslocamento em relação ao eixo +x:
Primeiro cálculo do ângulo de referência no triângulo retângulo,
\theta_0=\arctan\!\biggl(\frac{31{,}6}{31{,}6}\biggr)=45^\circ.
Como o vetor \Delta\vec r está no segundo quadrante (com x<0,y>0),
\theta=180^\circ-45^\circ=135^\circ.

Passo 6

Velocidade média:
\vec v_{\mathrm{med}}=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}, \qquad |\vec v_{\mathrm{med}}|=\frac{|\Delta\vec r|}{25} =\frac{31{,}6\sqrt{2}}{25}\approx1{,}79
m/s.

Passo 7

Variação de velocidade:
\vec v(0)=0\,\hat\imath-16\,\hat\jmath,\quad \vec v(25)=16\,\hat\imath+0\,\hat\jmath \quad\Longrightarrow\quad \Delta\vec v=\vec v(25)-\vec v(0) =16\,\hat\imath+16\,\hat\jmath
m/s.

Passo 8

Aceleração média:
\vec a_{\mathrm{med}}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}, \qquad |\vec a_{\mathrm{med}}|=\frac{|\Delta\vec v|}{25} =\frac{16\sqrt{2}}{25}\approx0{,}905
m/ s^{2}.

Resposta

(a) \vec r(0)=31{,}6\,\hat\imath+0\,\hat\jmath (m)
(b) \vec r(25)=0\,\hat\imath+31{,}6\,\hat\jmath (m)
(c) \displaystyle \Delta\vec r=-31{,}6\,\hat\imath+31{,}6\,\hat\jmath (m)
(d) 44{,}7 (m)
(e) 135^\circ
(f) 1{,}79 (m/s)
(g) \displaystyle \Delta\vec v=16\,\hat\imath+16\,\hat\jmath (m/s)
(h) 0{,}905 (m/ s^{2})

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