Questão 2(3,0) : Considere um cabo coaxial de comprimento L, raio do condutor interno r_{1} e raio do condutor externo r_{2}. O condutor interno é revestido por duas camadas de materiais dielétricos. A primeira camada tem espessura t_{a} em metros e permissividade \varepsilon_{a} em F / m, a segunda camada tem espessura t_{b} em metros e permissividade \varepsilon_{b} em \mathrm{F} / \mathrm{m}. A tensão aplicada entre os condutores interno e externo é V_{0}, e a corrente entre os condutores é I_{0}. Derive uma expressão para capacitância por unidade de comprimento do cabo.

Passo 1

O enunciado trata de um cabo coaxial de comprimento L, com condutor interno de raio r_{1} e condutor externo de raio r_{2}. Entre eles há duas camadas dielétricas: a primeira de espessura t_{a} e permissividade \varepsilon_{a}, e a segunda de espessura t_{b} e permissividade \varepsilon_{b}. Aplica-se uma tensão V_{0} entre condutores e flui uma corrente I_{0}. Queremos a capacitância por unidade de comprimento, isto é, C' = C/L. Para isso usaremos a Lei de Gauss para o campo elétrico e a relação entre diferença de potencial e densidade de carga linear \lambda.

Passo 2

Definimos o raio de separação entre os dielétricos como
r_{a} = r_{1} + t_{a},
e o raio interno do condutor externo satisfaz
r_{2} = r_{a} + t_{b}.

Passo 3

Pela simetria cilíndrica e Lei de Gauss, para r_{1}<r<r_{a} temos
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\,r\,\varepsilon_{a}},
e para r_{a}<r<r_{2}
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\,r\,\varepsilon_{b}},
onde \lambda é a densidade de carga por unidade de comprimento no condutor interno.

Passo 4

A tensão V_{0} é a soma das quedas de potencial em cada trecho:
V_{0} = \int_{r_{1}}^{r_{a}} E(r)\,\mathrm{d}r +\int_{r_{a}}^{r_{2}} E(r)\,\mathrm{d}r = \frac{\lambda}{2\pi}\Biggl[ \frac{1}{\varepsilon_{a}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{a}}{r_{1}}\bigr) +\frac{1}{\varepsilon_{b}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{2}}{r_{a}}\bigr) \Biggr].

Passo 5

Por definição de capacitância por unidade de comprimento,
C' = \frac{\lambda}{V_{0}} = \frac{2\pi}{\displaystyle \frac{1}{\varepsilon_{a}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{a}}{r_{1}}\bigr) +\frac{1}{\varepsilon_{b}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{2}}{r_{a}}\bigr) }.

Resposta

C' = \frac{2\pi}{\displaystyle \frac{1}{\varepsilon_{a}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{1}+t_{a}}{r_{1}}\bigr) +\frac{1}{\varepsilon_{b}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{2}}{r_{1}+t_{a}}\bigr) }.

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