Questão
: Considere um cabo coaxial de comprimento
, raio do condutor interno
e raio do condutor externo
. O condutor interno é revestido por duas camadas de materiais dielétricos. A primeira camada tem espessura
em metros e permissividade
em
, a segunda camada tem espessura
em metros e permissividade
em
. A tensão aplicada entre os condutores interno e externo é
, e a corrente entre os condutores é
. Derive uma expressão para capacitância por unidade de comprimento do cabo.
Passo 1
O enunciado trata de um cabo coaxial de comprimento
, com condutor interno de raio
e condutor externo de raio
. Entre eles há duas camadas dielétricas: a primeira de espessura
e permissividade
, e a segunda de espessura
e permissividade
. Aplica-se uma tensão
entre condutores e flui uma corrente
. Queremos a capacitância por unidade de comprimento, isto é,
. Para isso usaremos a Lei de Gauss para o campo elétrico e a relação entre diferença de potencial e densidade de carga linear
.
Passo 2
Definimos o raio de separação entre os dielétricos como
e o raio interno do condutor externo satisfaz
Passo 3
Pela simetria cilíndrica e Lei de Gauss, para
temos
e para
onde
é a densidade de carga por unidade de comprimento no condutor interno.
Passo 4
A tensão
é a soma das quedas de potencial em cada trecho:
Passo 5
Por definição de capacitância por unidade de comprimento,