Terceira Questão ( \mathbf{2 1 , 0} pontos - \mathbf{7 , 0} pontos cada item)

Após um incidente em alto-mar, foi observada uma grande mancha sobre a superfície da água, de índice de refração n_{\text {água }}=1,30á. A origem da substância é incerta, mas sabe-se que dois petroleiros, A e B, operavam na região, cada um transportando diferentes substâncias líquidas. Um técnico realizou uma inspeção aérea, com o Sol a pino, e observou a mancha diretamente de cima. Numa região onde a espessura da mancha era de L=460 \mathrm{~nm}, ele viu uma coloração esverdeada associada ao comprimento de onda de 507,84 \mathrm{~nm}. Mais tarde, o mesmo técnico mergulhou sob a mancha e observou duas colorações distintas, associadas aos comprimentos de onda de 634,80 \mathrm{~nm} e 423,20 \mathrm{~nm}. Sabe-se que a:
  • A interferência observada é construtiva;
  • A luz incide perpendicularmente à superfície;
  • O índice de refração da substância da mancha é maior que o da água;
  • As cores observadas de cima (507,8 \mathrm{~nm}) e de baixo (634,8 \mathrm{~nm}) correspondem à mesma ordem de interferência (isto é o mesmo valor de m ).
As substâncias transportadas pelos petroleiros são dadas pela Tabela 3.1
Tabela 3.1 - Substâncias que a indústria \mathbf{A} trabalha
Petroleiro A Petroleiro B
Substância Índice de Refração Substância Índice de Refração
Querosene 1,44 Diesel marítimo 1,46
Gasolina 1,38 Tolueno 1,49
Nafta (óleo leve) 1,42 Óleo vegetal 147
A) Usando o fato de que os comprimentos de onda \lambda_{\text {cima }}=507,84 \mathrm{~nm} e \lambda_{\text {baixo }}=634,8 \mathrm{~nm} correspondem à mesma ordem de interferência, determine o índice de refração da substância da mancha.
B) Determine a ordem de interferência m correspondente a essas cores.
C) Com base no valor de n obtido, identifique qual petroleiro provavelmente foi responsável pelo vazamento. Justifique.
D) Calcule a ordem de interferência correspondente à luz de 423,2 nm observada debaixo d’água.

Passo 1

O enunciado descreve uma mancha de espessura L=460 nm sobre água ( n_{\text{água}}=1{,}30á), formada por um filme de índice n desconhecido maior que o da água, iluminado perpendicularmente pelo Sol. Observou-se:
– de cima (reflexão no filme-ar) cor verde de comprimento de onda no vácuo \lambda_{\text{cima}}=507{,}84 nm;
– de baixo (reflexão no filme-água) duas cores de comprimentos de onda \lambda_{1}=634{,}80 nm e \lambda_{2}=423{,}20 nm.
Sabe-se que a interferência é construtiva e que \lambda_{\text{cima}} e \lambda_{1} correspondem à mesma ordem m. Vamos usar a teoria de interferência em filme fino, incluindo as inversões de fase nas reflexões.

Passo 2

Para reflexão de cima (ar \tofilme \toágua) há inversão de fase apenas na face ar \tofilme, logo a condição de interferência construtiva é
2\,n\,L = \Bigl(m + \tfrac12\Bigr)\,\lambda_{\text{cima}}.
Para reflexão de baixo (água \tofilme \toar) as duas reflexões não sofrem inversão de fase, logo
2\,n\,L = m\,\lambda_{1}
e também
2\,n\,L = m'\,\lambda_{2},
sendo m e m' inteiros.

Passo 3

Como \lambda_{\text{cima}} e \lambda_{1} dão a mesma ordem m, igualamos
\Bigl(m + \tfrac12\Bigr)\,\lambda_{\text{cima}} \;=\;m\,\lambda_{1}.
Dividindo por \lambda_{1},
\frac{m}{m + \tfrac12} = \frac{\lambda_{\text{cima}}}{\lambda_{1}} = \frac{507{,}84}{634{,}80}=0{,}8 \;\Longrightarrow\; m=2.
Substituindo em 2nL = m\,\lambda_{1},
2\,n\,(460) = 2\,(634{,}80) \;\Longrightarrow\; n = \frac{2\cdot 634{,}80}{2\cdot 460} = \frac{634{,}80}{460} = 1{,}38.

Passo 4

Comparando n=1{,}38 com a Tabela 3.1, verifica-se que só a Gasolina (petroleiro A) tem índice 1{,}38. Logo o vazamento é do petroleiro A.

Passo 5

Para a segunda cor debaixo d’água ( \lambda_{2}=423{,}20 nm), a ordem m' satisfaz
2\,n\,L = m'\,\lambda_{2} \;\Longrightarrow\; m' = \frac{2\,(1{,}38)\,(460)}{423{,}20} = \frac{1{,}38\cdot 920}{423{,}20} = 3.

Resposta

A) n=1{,}38.
B) m=2.
C) Provavelmente o petroleiro A, pois só a gasolina tem n=1{,}38.
D) m'=3.

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