Um certo investimento cresce em valor a uma taxa proporcional à raiz quadrada do valor em qualquer instante. Se o investimento inicial for de 100 reais e, após 2 meses, seu valor for de 144 reais, com quantos meses o investimento inicial quadruplicará?

Passo 1

O enunciado diz que o valor V(t) de um investimento satisfaz a equação diferencial em que a taxa de crescimento é proporcional à raiz quadrada do valor, isto é
dVdt = k,raizV
Sabemos que V(0)=100 e V(2)=144. Queremos achar t tal que V(t)=4cdot100=400. O conteúdo é equação diferencial separável.

Passo 2

Separamos variáveis e integramos:
integral V^-tfrac12,dV = integral k,dt
Isso leva a
2raizV = k,t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Usando a condição inicial V(0)=100, temos
2raiz100 = kcdot0 + C Longrightarrow 2cdot10 = C Longrightarrow C = 20

Passo 4

Agora aplicamos V(2)=144:
2raiz144 = kcdot2 + 20 Longrightarrow 2cdot12 = 2k + 20 Longrightarrow 24 = 2k + 20 Longrightarrow 2k = 4 Longrightarrow k = 2

Passo 5

Substituindo k=2 e C=20 em 2raizV=2t+20, obtemos
raizV = t + 10 Longrightarrow V(t) = (t + 10)^2

Passo 6

Para quadruplicar o valor inicial, impomos V(t)=400:
(t + 10)^2 = 400 Longrightarrow t + 10 = 20 Longrightarrow t = 10

Resposta

10 meses.

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