Um certo investimento cresce em valor a uma taxa proporcional à raiz quadrada do valor em qualquer instante. Se o investimento inicial for de 100 reais e, após 2 meses, seu valor for de 144 reais, com quantos meses o investimento inicial quadruplicará?
Passo 1
O enunciado diz que o valor
de um investimento satisfaz a equação diferencial em que a taxa de crescimento é proporcional à raiz quadrada do valor, isto é
Sabemos que
e
. Queremos achar
tal que
. O conteúdo é equação diferencial separável.
Passo 2
Separamos variáveis e integramos:
Isso leva a
onde
é constante de integração.
Passo 3
Usando a condição inicial
, temos
Passo 4
Agora aplicamos
:
Passo 5
Substituindo
e
em
, obtemos
Passo 6
Para quadruplicar o valor inicial, impomos
: