Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante.
(a) Se a população duplicar em 5 anos, quando ela triplicará? Quando quadruplicará?
(b) Suponha que a população seja 10000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população após 10 anos?

Passo 1

O enunciado diz que uma população cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas, ou seja, estamos lidando com crescimento exponencial. Vamos usar o modelo P(t)=P0 e^kt e vamos precisar de logaritmos para achar tempos e exponenciais para calcular populações.

Passo 2

Pela teoria do crescimento exponencial, temos a equação diferencial tfracdPdt=kP e a solução geral é P(t)=P0 e^kt. Como a população dobra em 5 anos, colocamos P(5)=2P0 e obtemos:
e^5k=2 implies k=ln(2)5
Em valor aproximado, kapprox0,1386 por ano.

Passo 3

Para descobrir quando a população triplica, queremos P(t)=3P0, ou seja:
e^kt=3 implies t=ln(3)k
Substituindo kapprox0,1386, vem tapproxtfrac1,09860,1386approx7,93 anos.

Passo 4

Para quadruplicar, fazemos P(t)=4P0, então:
e^kt=4 implies t=ln(4)k = 5ln(4)ln(2) = 10
Logo, leva exatamente 10 anos.

Passo 5

No item (b), sabemos que P(3)=10000. Como P(3)=P0 e^3k, isolamos P0:
P0=10000,e^-3k
Substituindo kapprox0,1386, temos
P0approx10000,e^-0,4158approx6598.

Passo 6

Para achar P(10), usamos:
P(10)=P0 e^10k=10000,e^-3ke^10k=10000,e^7k
Com kapprox0,1386, fica
P(10)approx10000,e^0,9702approx26380.

Resposta

(a) A população triplica em aproximadamente 7,93 anos e quadruplica em 10 anos; (b) a população inicial era de cerca de 6598 habitantes e depois de 10 anos será de aproximadamente 26380 habitantes.

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