Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante.
(a) Se a população duplicar em 5 anos, quando ela triplicará? Quando quadruplicará?
(b) Suponha que a população seja 10000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população após 10 anos?
(a) Se a população duplicar em 5 anos, quando ela triplicará? Quando quadruplicará?
(b) Suponha que a população seja 10000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população após 10 anos?
Passo 1
O enunciado diz que uma população cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas, ou seja, estamos lidando com crescimento exponencial. Vamos usar o modelo
e vamos precisar de logaritmos para achar tempos e exponenciais para calcular populações.
Passo 2
Pela teoria do crescimento exponencial, temos a equação diferencial
e a solução geral é
. Como a população dobra em 5 anos, colocamos
e obtemos:
Em valor aproximado,
por ano.
Passo 3
Para descobrir quando a população triplica, queremos
, ou seja:
Substituindo
, vem
anos.
Passo 4
Para quadruplicar, fazemos
, então:
Logo, leva exatamente 10 anos.
Passo 5
No item (b), sabemos que
. Como
, isolamos
:
Substituindo
, temos
Passo 6
Para achar
, usamos:
Com
, fica
Resposta
(a) A população triplica em aproximadamente 7,93 anos e quadruplica em 10 anos; (b) a população inicial era de cerca de 6598 habitantes e depois de 10 anos será de aproximadamente 26380 habitantes.