Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
f(x)=23 x^-1 / 3+x^1 / 4

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x)=23x^-1/3+x^1/4
O conteúdo é integração de potências, usando a regra
integral x^n,dx = x^n+1n+1+C(nneq -1)
e a propriedade da constante.

Passo 2

Para o termo 23x^-1/3, aplicamos a constante multiplicativa e a regra de potência:
integral 23x^-1/3,dx = 23integral x^-1/3,dx = 23cdotx^-1/3+1-1/3+1 = 23cdotx^2/32/3 = x^2/3

Passo 3

Para o termo x^1/4, usamos diretamente a regra de potência:
integral x^1/4,dx = x^1/4+11/4+1 = x^5/45/4 = 45x^5/4

Passo 4

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x)=x^2/3+45x^5/4+C

Passo 5

Verificação: derivando F,
F'(x) =ddxl(x^2/3r)+ddxl(tfrac45x^5/4r) =23x^-1/3+45cdot54x^1/4 =23x^-1/3+x^1/4,
que coincide com f(x).

Resposta

F(x)=x^2/3+45x^5/4+C

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