Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
f(x)=-4 sin (5 x)

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de -4sin(5x). O conteúdo é integração de funções compostas, onde vamos usar o método de substituição e a regra básica
integral sin(ax),dx = -1acos(ax) + C

Passo 2

Escrevemos a integral e extraímos a constante:
integral -4sin(5x),dx ;=;-4integral sin(5x),dx
Fazemos a substituição ,u=5x, assim du=5,dx e dx=tfracdu5. Logo,
-4integral sin(5x),dx ;=;-4integral sin(u),du5 ;=;- 45integral sin(u),du

Passo 3

Agora integramos sin(u):
integral sin(u),du = -cos(u) + C,
portanto
- 45integral sin(u),du = -45l(-cos(u)r) + C = 45cos(u) + C
Voltando a x, temos cos(u)=cos(5x), logo uma primitiva é
F(x) = 45cos(5x) + C

Passo 4

Verificamos derivando F(x):
F'(x) = 45cdotl(-sin(5x)r)cdot5 = -4sin(5x),
que coincide com f(x), confirmando a primitiva.

Resposta

F(x) = 45cos(5x) + C

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