Em um certo local da Terra o campo elétrico de uma onda eletromagnética plana varia da seguinte forma, expressa em unidades SI: E=2 \times 10^{-4} \cos \left(5 \times 10^{6} t\right). Se o local em questão está em x=0 e a onda se propaga na direção -x pelo ar, escreva em termos de x e t : (a) as expressões do campo elétrico e do campo magnético, incluindo o valor de k. (b) Determine o vetor de Poynting e use-o para determinar a intensidade da onda.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico no ponto x=0 como
E(0,t)=2\times10^{-4}\cos\bigl(5\times10^{6}t\bigr)\quad(\text{V/m})
para uma onda plana que se propaga no sentido -x no ar.
Conteúdo: onda eletromagnética plana em meio não condutor. Precisaremos de \omega, k, da relação B=E/c e do vetor de Poynting \mathbf{S}=(1/\mu_{0})\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.

Passo 2

Calculamos a frequência angular \omega e o número de onda k.
Pela forma dada, \omega=5\times10^{6},rad/s. No ar c\approx3\times10^{8},m/s, logo
k=\frac{\omega}{c}=\frac{5\times10^{6}}{3\times10^{8}} =1{,}667\times10^{-2}\\ \text{m}^{-1}.

Passo 3

Como a onda viaja em -x, o argumento da cosseno é \omega t + kx. Escolhendo o campo elétrico na direção \hat{y},
\mathbf{E}(x,t) =2\times10^{-4}\cos\bigl(\omega t + kx\bigr)\,\hat{y} =2\times10^{-4}\cos\bigl(5\times10^{6}t +1{,}667\times10^{-2}x\bigr)\,\hat{y}.

Passo 4

O módulo de B é B_{0}=E_{0}/c=2\times10^{-4}/(3\times10^{8})=6{,}667\times10^{-13},T. Para que \mathbf{E}\times\mathbf{B} aponte em -\hat{x}, se \mathbf{E}\parallel\hat{y} então \mathbf{B}\parallel -\hat{z}. Assim
\mathbf{B}(x,t) =6{,}667\times10^{-13}\cos\bigl(5\times10^{6}t +1{,}667\times10^{-2}x\bigr)\,(-\hat{z}).

Passo 5

O vetor de Poynting instantâneo é
\mathbf{S}(x,t) =\frac{1}{\mu_{0}}\;\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
Como \mathbf{E}\times\mathbf{B} tem módulo E_{0}B_{0}\cos^{2}(\dots) e direção -\hat{x},
\mathbf{S}(x,t) =\frac{E_{0}B_{0}}{\mu_{0}}\cos^{2}\bigl(5\times10^{6}t +1{,}667\times10^{-2}x\bigr)\,(-\hat{x}).
A intensidade (média de \mathbf{S}) vale
I=\langle S\rangle =\frac{E_{0}B_{0}}{2\mu_{0}} =\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c} =\frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}c\,E_{0}^{2}.
Substituindo E_{0}=2\times10^{-4},V/m, \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12},F/m e c=3\times10^{8},m/s,
I =\frac{1}{2}\times8{,}85\times10^{-12}\times3\times10^{8}\times(2\times10^{-4})^{2} \approx5{,}3\times10^{-11}\\ \text{W/m}^{2}.

Resposta

(a) \displaystyle k=1{,}667\times10^{-2}\,\mathrm{m}^{-1}, \displaystyle \mathbf{E}(x,t)=2\times10^{-4}\cos\bigl(5\times10^{6}t+1{,}667\times10^{-2}x\bigr)\,\hat{y}, \displaystyle \mathbf{B}(x,t)=6{,}667\times10^{-13}\cos\bigl(5\times10^{6}t+1{,}667\times10^{-2}x\bigr)\,(-\hat{z}).
(b) \displaystyle \mathbf{S}(x,t)=\frac{E_{0}B_{0}}{\mu_{0}}\cos^{2}(5\times10^{6}t+1{,}667\times10^{-2}x)\,(-\hat{x})
e a intensidade média é \displaystyle I\approx5{,}3\times10^{-11}\,\mathrm{W/m}^{2}.

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