Certo material sem perdas tem \mu_{\mathrm{r}}=4 \mathrm{e} \varepsilon_{\mathrm{r}}=9. Uma onda plana uniforme de 10 MHz está se propagando na direção \mathbf{a}_{\gamma} \operatorname{com} \mathrm{E}_{\chi^{0}}=400 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e \mathrm{E}_{\gamma 0}=\mathrm{E}_{z 0}=0 \mathrm{em} \mathrm{P}(0,6 ; 0,6 ; 0,6) em \mathrm{t}=60 ns. (a) Calcule \beta, \lambda, \nu_{\mathrm{p}} e \eta. (b) Encontre \mathscr{E}(\mathrm{y}, \mathrm{t}). (c) Determine \mathscr{H}(\mathrm{y}, \mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana senoidal de frequência f=10\;\mathrm{MHz} se propagando no sentido \mathbf{a}_\gamma (eixo y) em um meio sem perdas com
\mu=\mu_0\,\mu_{\rm r}=4\,\mu_0, \quad \varepsilon=\varepsilon_0\,\varepsilon_{\rm r}=9\,\varepsilon_0
e campo elétrico polarized ao longo de \mathbf{a}_\chi (eixo x) com amplitude E_{0}=400\;\mathrm{V/m}. Precisamos calcular:
a) as quantidades \beta, \lambda, v_p e \eta;
b) a expressão \mathscr{E}(y,t);
c) a expressão \mathscr{H}(y,t).

Passo 2

Calcular \omega e o constante de fase \beta.
\omega = 2\pi f = 2\pi\,(10\times10^6)\;\mathrm{rad/s}\approx6{,}283\times10^7\;\mathrm{rad/s}.
Em um meio sem perdas \beta=\omega\sqrt{\mu\,\varepsilon}. Logo,
\beta = \omega\sqrt{\mu_0\,\mu_{\rm r}\,\varepsilon_0\,\varepsilon_{\rm r}} = \omega\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}\;\sqrt{\mu_{\rm r}\,\varepsilon_{\rm r}} = \frac{\omega}{c}\,\sqrt{4\cdot9} = \frac{6{,}283\times10^7}{3\times10^8}\;6 \approx1{,}2566\;\mathrm{rad/m}.

Passo 3

Determinar o comprimento de onda \lambda, a velocidade de fase v_p e a impedância intrínseca \eta.
\lambda = \frac{2\pi}{\beta} \approx\frac{2\pi}{1{,}2566}\approx5\;\mathrm{m},
v_p = \frac{\omega}{\beta} \approx\frac{6{,}283\times10^7}{1{,}2566}\approx5\times10^7\;\mathrm{m/s},
\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \eta_0\sqrt{\frac{\mu_{\rm r}}{\varepsilon_{\rm r}}} = 377\,\Omega\;\sqrt{\frac{4}{9}} \approx251{,}3\;\Omega.

Passo 4

Montar a forma geral de \mathscr{E}(y,t) e achar a fase inicial \varphi.
Em geral,
\mathscr{E}(y,t) = \mathbf{a}_\chi\,E_{0}\cos\bigl(\omega t - \beta\,y + \varphi\bigr).
Como em P\,(y=0{,}6\;\mathrm{m}) e t=60\;\mathrm{ns} o valor instantâneo atingiu E_0=400\;\mathrm{V/m}, a condição é
\cos\bigl(\omega\cdot60\times10^{-9}-\beta\cdot0{,}6+\varphi\bigr)=1,
ou seja
\omega\cdot60\times10^{-9}-\beta\cdot0{,}6+\varphi = 2\pi n,
escolhendo n=0 obtemos
\varphi = \beta\cdot0{,}6 - \omega\cdot60\times10^{-9} \approx1{,}2566\cdot0{,}6 - 6{,}283\times10^7\cdot60\times10^{-9} \approx-3{,}016\;\mathrm{rad}.

Passo 5

Escrever \mathscr{E}(y,t) com todos os valores numéricos:
\boxed{ \mathscr{E}(y,t) = \mathbf{a}_\chi\;400\;\cos\bigl(6{,}283\times10^7\,t - 1{,}2566\,y - 3{,}016\bigr) \;\mathrm{V/m}. }

Passo 6

Determinar \mathscr{H}(y,t) usando \mathscr{H}=(1/\eta)\,\mathbf{k}\times\mathscr{E}.
Aqui \mathbf{k}=\mathbf{a}_\gamma (eixo y) e \mathscr{E}\parallel\mathbf{a}_\chi, de modo que \mathbf{a}_\chi\times\mathbf{a}_z=-\mathbf{a}_\gamma,
portanto \mathscr{H} fica na direção -\mathbf{a}_z com módulo E_0/\eta. Logo,
\boxed{ \mathscr{H}(y,t) = -\,\mathbf{a}_z\;\frac{400}{251{,}3}\; \cos\bigl(6{,}283\times10^7\,t - 1{,}2566\,y - 3{,}016\bigr) \;\mathrm{A/m}. }

Resposta

(a) \displaystyle \beta\approx1{,}2566\;\mathrm{rad/m},\quad \lambda\approx5\;\mathrm{m},\quad v_p\approx5\times10^7\;\mathrm{m/s},\quad \eta\approx251{,}3\;\Omega.
(b) \displaystyle \mathscr{E}(y,t)=\mathbf{a}_\chi\,400\cos\bigl(6{,}283\times10^7t-1{,}2566y-3{,}016\bigr)\;\mathrm{V/m}.
(c) \displaystyle \mathscr{H}(y,t)=-\mathbf{a}_z\,1{,}591\cos\bigl(6{,}283\times10^7t-1{,}2566y-3{,}016\bigr)\;\mathrm{A/m}.

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