Seja \mathrm{jk}=0,2+\mathrm{j} 1,5 \mathrm{~m}^{-1} e \eta=450+\mathrm{j} 60 \Omega para uma onda plana uniforme que se propaga na direção \mathbf{a}_{z}. Se \omega=300 \mathrm{Mrad} / \mathrm{s}, calcule \mu, \varepsilon^{\prime} e \varepsilon^{\prime \prime} para o meio.

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana que se propaga segundo \mathbf{a}_{z} em um meio caracterizado por \gamma = 0{,}2 + \mathrm{j}\,1{,}5\\ \mathrm{m}^{-1}, \eta = 450 + \mathrm{j}\,60\\ \Omega e \omega = 300\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
Queremos encontrar a permeabilidade absoluta \mu e a permitividade complexa \varepsilon = \varepsilon' - \mathrm{j}\,\varepsilon''.
Usaremos as relações padrão para o meio homogêneo e isotrópico:
\eta^{2} \;=\;\frac{\mathrm{j}\,\omega\mu}{\sigma + \mathrm{j}\,\omega\varepsilon} \quad,\quad \gamma^{2} \;=\;\mathrm{j}\,\omega\mu\,\bigl(\sigma + \mathrm{j}\,\omega\varepsilon\bigr)\,.
Da combinação dessas duas equações resulta
\mu \;=\;\frac{\gamma\,\eta}{\mathrm{j}\,\omega} \quad\text{e}\quad \sigma + \mathrm{j}\,\omega\varepsilon \;=\;\frac{\mathrm{j}\,\omega\mu}{\eta^{2}}.

Passo 2

Calculemos primeiro \mu = \dfrac{\gamma\,\eta}{\mathrm{j}\,\omega}.
Multiplicamos
\gamma\,\eta =(0{,}2 + \mathrm{j}\,1{,}5)\,(450 + \mathrm{j}\,60) =0{,}2\cdot450 + 0{,}2\,\mathrm{j}\,60 + \mathrm{j}\,1{,}5\cdot450 + (\mathrm{j}\,1{,}5)(\mathrm{j}\,60)
=90 + \mathrm{j}\,12 + \mathrm{j}\,675 -90 =\mathrm{j}\,(12+675) =\mathrm{j}\,687.
Logo
\mu =\frac{\mathrm{j}\,687}{\mathrm{j}\,\omega} =\frac{687}{\omega} =\frac{687}{300\times10^{6}} \approx 2{,}29\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 3

Agora determine \sigma + \mathrm{j}\,\omega\varepsilon = \dfrac{\mathrm{j}\,\omega\mu}{\eta^{2}}.
Primeiro \eta^{2}=(450 + \mathrm{j}\,60)^{2}=198900 + \mathrm{j}\,54000.
E
\mathrm{j}\,\omega\mu =\mathrm{j}\,(300\times10^{6})\,(2{,}29\times10^{-6}) =\mathrm{j}\,687.
Dividindo-complexos:
\frac{\mathrm{j}\,687}{198900 + \mathrm{j}\,54000} =\frac{\mathrm{j}\,687\,(198900 - \mathrm{j}\,54000)}{198900^{2}+54000^{2}} =\frac{37\,098\,000 + \mathrm{j}\,136\,644\,300}{4{,}2477\times10^{10}}
\approx 8{,}736\times10^{-4} \;+\;\mathrm{j}\,3{,}217\times10^{-3}.
Escrevendo \sigma + \mathrm{j}\,\omega\varepsilon = A + \mathrm{j}\,B,
comparando com \sigma + \mathrm{j}\,\omega\varepsilon = \omega\varepsilon'' + \mathrm{j}\,\omega\varepsilon'
vemos
\omega\,\varepsilon'' = A,\quad \omega\,\varepsilon' = B.
Portanto
\varepsilon' =\frac{B}{\omega} =\frac{3{,}217\times10^{-3}}{300\times10^{6}} \approx 1{,}07\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m},
\varepsilon'' =\frac{A}{\omega} =\frac{8{,}736\times10^{-4}}{300\times10^{6}} \approx 2{,}91\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Resposta

\displaystyle \mu \approx 2{,}29\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m},\quad \varepsilon' \approx 1{,}07\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m},\quad \varepsilon'' \approx 2{,}91\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

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