Um sinal de radar de 10 GHz pode ser representado como uma onda plana uniforme em uma região suficientemente pequena. Calcule o comprimento de onda em centímetros e a atenuação em nepers por metro se a onda está se propagando em um material não magnético para o qual:
\varepsilon_{\mathrm{r}}^{\prime}=2,5 e \varepsilon_{\mathrm{r}}^{\prime \prime} =7,2

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana de frequência f=10\;\text{GHz} que se propaga num material não magnético \mu=\mu_0 com permissividade complexa
\varepsilon = \varepsilon_0\bigl(\varepsilon_{\mathrm{r}}' - j\,\varepsilon_{\mathrm{r}}''\bigr)
onde \varepsilon_{\mathrm{r}}'=2,5 e \varepsilon_{\mathrm{r}}''=7,2. Pedem-se (a) o comprimento de onda no meio em centímetros e (b) a atenuação \alpha em nepers por metro. Vamos usar a expressão do número de onda complexo
\gamma = \alpha + j\,\beta = j\,\omega\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0\bigl(\varepsilon_{\mathrm{r}}' - j\,\varepsilon_{\mathrm{r}}''\bigr)}
e então extrair \alpha e \beta, sabendo que \lambda = 2\pi/\beta.

Passo 2

Calculemos primeiro as quantidades básicas. A pulsação é
\omega = 2\pi f = 2\pi\times10\times10^9\;\text{rad/s},
e o número de onda no vácuo é
k_0 = \omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi f}{c}\approx \frac{2\pi\cdot10^{10}}{3\cdot10^8}\approx209{,}4\;\text{rad/m}.

Passo 3

Definimos o fator complexo
z = \varepsilon_{\mathrm{r}}' - j\,\varepsilon_{\mathrm{r}}'' = 2{,}5 - j\,7{,}2.
Para extrair a raiz quadrada escrevemos z em forma polar:
|z| = \sqrt{2{,}5^2 + 7{,}2^2}\approx7{,}623, \quad \theta = -\arctan\!\bigl(\tfrac{7{,}2}{2{,}5}\bigr)\approx -70^\circ.
Logo
\sqrt{z} = \sqrt{|z|}\,\bigl[\cos(\tfrac\theta2)+j\sin(\tfrac\theta2)\bigr] \approx2{,}761\,\bigl[\cos(-35^\circ)+j\sin(-35^\circ)\bigr] \approx2{,}261 - j\,1{,}584.

Passo 4

O número de onda complexo é
\gamma = j\,k_0\,\sqrt{z} = j\,k_0\,(2{,}261 - j\,1{,}584) = -\,(-1{,}584)\,k_0 \;+\; j\,(2{,}261\,k_0) = \alpha + j\,\beta.
Como \sqrt{z}=A+jB com A=2{,}261 e B=-1{,}584, tem‐se
\alpha = -B\,k_0 = 1{,}584\times209{,}4\approx331{,}8\;\text{Np/m}, \quad \beta = A\,k_0 = 2{,}261\times209{,}4\approx473{,}7\;\text{rad/m}.

Passo 5

O comprimento de onda no meio vem de
\lambda = \frac{2\pi}{\beta} \approx \frac{2\pi}{473{,}7}\;\text{m}\approx0{,}01327\;\text{m}=1{,}327\;\text{cm}.

Resposta

O comprimento de onda no meio é \lambda\approx1{,}33\;\text{cm} e a atenuação é \alpha\approx332\;\text{Np/m}.

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