Certo material radiativo desintegra-se com uma rapidez proporcional à quantidade existente em cada instante. Num teste realizado com 60 mg deste material observou-se que após 3 horas somente permanecia
da quantidade de massa original.
(a) Determine a quantidade restante de massa em qualquer instante.
(b) Que quantidade de material há após 5 horas?
(c) Quanto tempo deverá transcorrer para que a quantidade original se desintegre até sobrar apenas
?
(a) Determine a quantidade restante de massa em qualquer instante.
(b) Que quantidade de material há após 5 horas?
(c) Quanto tempo deverá transcorrer para que a quantidade original se desintegre até sobrar apenas
Passo 1
O enunciado trata de um decaimento radioativo cuja taxa de variação é proporcional à quantidade existente em cada instante. Isso leva à equação diferencial de primeira ordem
onde
é a quantidade de massa em miligramas no instante
(horas) e
é a constante de decaimento. Sabemos que
mg e que
. Vamos:
- Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
- Determinar
usando o dado de . - Escrever a solução geral
. - Calcular
. - Encontrar
para .
Passo 2
Separe variáveis e integre:
Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Como
, temos
. Logo
Passo 3
Usando
, obtemos
Passo 4
Substituindo
na solução geral, fica
Passo 5
Para
horas,
Passo 6
Queremos
. Então
Como
,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)