Certo material radiativo desintegra-se com uma rapidez proporcional à quantidade existente em cada instante. Num teste realizado com 60 mg deste material observou-se que após 3 horas somente permanecia 80 % da quantidade de massa original.
(a) Determine a quantidade restante de massa em qualquer instante.
(b) Que quantidade de material há após 5 horas?
(c) Quanto tempo deverá transcorrer para que a quantidade original se desintegre até sobrar apenas 1 / 4 ?

Passo 1

O enunciado trata de um decaimento radioativo cuja taxa de variação é proporcional à quantidade existente em cada instante. Isso leva à equação diferencial de primeira ordem
dAdt = k,A
onde A(t) é a quantidade de massa em miligramas no instante t (horas) e k é a constante de decaimento. Sabemos que A(0)=60 mg e que A(3)=0,8cdot60. Vamos:
  1. Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
  2. Determinar k usando o dado de t=3.
  3. Escrever a solução geral A(t).
  4. Calcular A(5).
  5. Encontrar t para A(t)=tfrac14cdot60.

Passo 2

Separe variáveis e integre:
1A,dA = k,dt
Integrando ambos os lados,
ln A = k,t + C
onde C é constante de integração. Exponenciando,
A(t) = e^C,e^k t = C1,e^k t
Como A(0)=60, temos C1=60. Logo
A(t) = 60,e^k t

Passo 3

Usando A(3)=0,8cdot60=48, obtemos
48 = 60,e^3k Longrightarrow e^3k = 0,8 Longrightarrow k = 13ln(0.8)

Passo 4

Substituindo k na solução geral, fica
A(t) = 60,exp!l(tcdottfrac13ln(0.8)r) = 60,l(0.8r)^t/3

Passo 5

Para t=5 horas,
A(5) = 60,(0.8)^5/3 approx 60 times 0,6895 approx 41,4 mg

Passo 6

Queremos A(t)=tfrac14cdot60=15. Então
15 = 60,e^k t Longrightarrow e^k t = tfrac14 Longrightarrow k,t = ln!l(tfrac14r) Longrightarrow t = ln(1/4)k
Como k=tfrac13ln(0.8),
t = ln(1/4)tfrac13ln(0.8) approx -1,3863-0,07438 approx 18,6 horas

Resposta

(a) A(t) = 60,l(0.8r)^t/3
(b) A(5)approx 41,4 mg
(c) tapprox 18,6 h

Exercícios relacionados