Um corpo a uma temperatura desconhecida é introduzido num refrigerador a uma temperatura constante de 1 grau Fahrenheit. Após 20 minutos a temperatura do corpo é de 40 graus F e após 40 minutos de 20 graus F . Determine a temperatura inicial do corpo. (Resp.: 81 graus F ).

Passo 1

O enunciado aplica a lei do resfriamento de Newton, em que a temperatura T(t) de um corpo num meio de temperatura constante Ta satisfaz
T(t) = Ta + l(T0 - Tar)e^-k t,
onde T0 é a temperatura inicial do corpo e k>0 é a constante de resfriamento. Aqui temos Ta=1^circF e medimos:
T(20)=40^circF, T(40)=20^circF
Queremos achar T0.

Passo 2

Escrevendo a fórmula para t=20 e t=40, obtemos duas equações:
1 + l(T0 - 1r)e^-20k = 40,
1 + l(T0 - 1r)e^-40k = 20

Passo 3

Reescrevendo cada uma isolando l(T0 - 1r)e^-kt:
l(T0 - 1r)e^-20k = 39,
l(T0 - 1r)e^-40k = 19

Passo 4

Dividindo a segunda pela primeira, cancelamos T0 - 1:
e^-40ke^-20k = 1939 Longrightarrow e^-20k = 1939

Passo 5

Tomando logaritmo,
-20k = ln!l(tfrac1939r) Longrightarrow k = -120ln!l(tfrac1939r) = 120ln!l(tfrac3919r)

Passo 6

Voltando à primeira equação l(T0 - 1r)e^-20k=39, temos
T0 - 1 = 39,e^20k = 39cdot1e^-20k = 39cdot3919 = 152119
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T0 = 1 + 152119 = 154019 approx 81,05

Passo 7

Arredondando para o grau inteiro mais próximo, concluímos que a temperatura inicial do corpo é

Resposta

81^circF.

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