Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Um elemento radioativo possui uma massa inicial de 100 g , 3 anos após esta massa reduziu-se a 80 g .
a) Quanto tempo levará para que esta massa seja 52g? R: 8 anos e 9 meses
b) Após 5 anos, qual a massa do elemento ainda presente? R : m=68,94 g
c) Qual a meia vida deste elemento? R: 9 anos e 4 meses

Passo 1

Neste exercício, temos um material radioativo cuja massa decai de forma proporcional à quantidade presente. Começamos com massa inicial de 100 g e, após 3 anos, restam 80 g. Vamos usar o modelo de decaimento exponencial para encontrar a constante de decaimento, depois responder às três perguntas.

Passo 2

O modelo de decaimento exponencial é dado por
m(t)=m0 e^-k t
onde m0 é a massa inicial e k é a constante de decaimento. Aqui m0=100 g e sabemos que m(3)=80 g. Substituindo, temos
100 e^-3k=80
Isolando k:
e^-3k=0.8 -3k=ln(0.8) k=-13ln(0.8)approx0.07438 (ano^-1)

Passo 3

a) Para achar o tempo t em que a massa chega a 52 g, usamos
100 e^-k t=52
Logo,
e^-k t=0.52 -t k=ln(0.52) t=-1kln(0.52)approx0.6530.07438approx8.77 anos
Convertendo a parte decimal em meses: 0.77times12approx9.24 meses. Portanto cerca de 8 anos e 9 meses.

Passo 4

b) Para a massa após 5 anos, aplicamos o mesmo modelo:
m(5)=100 e^-kcdot5=100 e^-5times0.07438approx100 e^-0.3719approx100times0.6896approx68.96 g

Passo 5

c) A meia-vida T1/2 é o tempo em que a massa cai para metade, ou seja, satisfaz e^-kT1/2=0.5. Assim,
T1/2=ln(2)k=0.69310.07438approx9.32 anos
Convertendo a parte decimal em meses: 0.32times12approx3.84 meses, ou seja, cerca de 9 anos e 4 meses.

Resposta

a) 8 anos e 9 meses
b) 68,96 g
c) 9 anos e 4 meses

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