Questão 5. Analise a diferenciabilidade das funções f, g: R^2 R abaixo no ponto (0,0).
g(x, y)=raiz|x| sin (y)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a diferenciabilidade de
g(x,y)=raizlvert xrvert,sin(y)
no ponto (0,0). O conteúdo principal é a definição de diferenciabilidade em R^2: uma função g é diferenciável em (0,0) se existem derivadas parciais em (0,0) que definem um mapa linear L(h,k) e o resto
R(h,k)=g(h,k)-g(0,0)-L(h,k)
satisfaz
lim(h,k)to(0,0)R(h,k)raizh^2+k^2=0

Passo 2

Primeiro, calculamos os valores de g e das derivadas parciais em (0,0). Notamos que
g(0,0)=raizlvert 0rvert,sin(0)=0
A derivada parcial em x é
partial gpartial x(0,0) =limhto0g(h,0)-g(0,0)h =limhto0raizlvert hrvert,sin(0)h =0,
e a derivada parcial em y é
partial gpartial y(0,0) =limkto0g(0,k)-g(0,0)k =limkto0raiz0,sin(k)k =0
Logo o candidato ao mapa linear é
L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade, precisamos checar que
lim(h,k)to(0,0) g(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2 =lim(h,k)to(0,0) raizlvert hrvert,sin(k)raizh^2+k^2 =0

Passo 4

Usamos uma estimativa: para todo (h,k),
llvert raizlvert hrvert,sin(k)rrvert <= raizlvert hrvert,lvert krvert,
pois lvertsin(k)rvert<=lvert krvert. Assim
llvert raizlvert hrvert,sin(k)rrvert raizh^2+k^2 <= raizlvert hrvert,lvert krvertraizh^2+k^2 =raizlvert hrvert,lvert krvertraizh^2+k^2 <=raizlvert hrvert
Como raizlvert hrvertto0 quando (h,k)to(0,0), a fração acima tende a zero. Portanto o resto satisfaz a condição de diferenciabilidade.

Resposta

A função g é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é
Dg(0,0)(h,k)=0cdot h+0cdot k=0

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