Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem inicialmente 50 miligramas de material, e se, após 2 horas, o material perdeu
da sua massa original, determine:
a) a expressão da massa remanescente em um instante
;
b) a massa do material após 4 horas;
c) o tempo para o qual o material perde metade da sua massa original.
a) a expressão da massa remanescente em um instante
b) a massa do material após 4 horas;
c) o tempo para o qual o material perde metade da sua massa original.
Passo 1
O enunciado diz que uma certa massa de material radioativo decai à taxa proporcional à quantidade presente. Temos inicialmente
mg e, após
h, a massa restante é
da original. Precisamos:
a) achar a expressão de ;
b) calcular ;
c) determinar o tempo em que vale metade de
.
a) achar a expressão de
b) calcular
c) determinar o tempo em que
Passo 2
Modelamos o decaimento por
onde
é a constante de decaimento. Separando variáveis e integrando:
Exponenciando, vem
e como
implica
, temos
Passo 3
Usamos a informação de que, em
h,
mg. Logo,
Passo 4
Substituindo
em
obtemos a expressão final do decaimento:
Passo 5
Para
h:
Passo 6
O tempo de meia‐vida
satisfaz
mg, ou seja
Resposta
a)
mg.
b) mg.
c) horas.
b)
c)