Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem inicialmente 50 miligramas de material, e se, após 2 horas, o material perdeu 10 % da sua massa original, determine:
a) a expressão da massa remanescente em um instante t;
b) a massa do material após 4 horas;
c) o tempo para o qual o material perde metade da sua massa original.

Passo 1

O enunciado diz que uma certa massa de material radioativo decai à taxa proporcional à quantidade presente. Temos inicialmente M(0)=50 mg e, após 2 h, a massa restante é 90% da original. Precisamos:
a) achar a expressão de M(t);
b) calcular M(4);
c) determinar o tempo em que M(t) vale metade de M(0).

Passo 2

Modelamos o decaimento por
dMdt=-k,M,
onde k>0 é a constante de decaimento. Separando variáveis e integrando:
integral dMM = -k integral dt Rightarrow ln M = -k,t + C
Exponenciando, vem
M(t)=C',e^-k t,
e como M(0)=50 implica C'=50, temos
M(t)=50,e^-k t

Passo 3

Usamos a informação de que, em t=2 h, M(2)=0,9cdot50=45 mg. Logo,
50,e^-2k=45 Rightarrow e^-2k=0,9 Rightarrow -2k=ln(0,9) Rightarrow k=-tfrac12ln(0,9)

Passo 4

Substituindo k em M(t) obtemos a expressão final do decaimento:
M(t)=50,exp!l(-tcdot(-tfrac12ln(0,9))r) =50,(0,9)^t/2

Passo 5

Para t=4 h:
M(4)=50,(0,9)^4/2 =50,(0,9)^2 =50times0,81 =40,5 mg

Passo 6

O tempo de meia‐vida t1/2 satisfaz M(t1/2)=25 mg, ou seja
50,(0,9)^t1/2/2=25 Rightarrow (0,9)^t1/2/2=tfrac12 Rightarrow t1/2 =ln(2)k =ln(2)-tfrac12ln(0,9) =-2,ln(2)ln(0,9) approx 13,15 h

Resposta

a) M(t)=50,(0,9)^t/2 mg.
b) M(4)=40,5 mg.
c) t1/2approx13,15 horas.

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