Resolva os problemas de valores iniciais:
y^{\prime}+2 x y=2 x^{3} ; \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado é resolver o problema de valor inicial
y' + 2x,y = 2x^3, y(0)=1
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem com P(x)=2x e Q(x)=2x^3. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = expl(x^2r)

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(x), obtemos
e^x^2y' + 2x,e^x^2y = 2x^3 e^x^2,
que pode ser reescrita como
ddxl(y,e^x^2r) = 2x^3 e^x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
y,e^x^2 = integral 2x^3 e^x^2,dx + C
Para calcular integral 2x^3 e^x^2,dx, fazemos a substituição t=x^2, dt=2x,dx:
integral 2x^3 e^x^2,dx = integral t e^t,dt = t e^t - integral e^t,dt = e^t(t-1) + C = e^x^2(x^2 - 1) + C
Logo
y,e^x^2 = e^x^2(x^2-1) + C,
e a solução geral é
y = x^2 - 1 + C,e^-x^2

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = 0^2 - 1 + C,e^0 = -1 + C Longrightarrow C = 2
Substituindo em y, obtemos a solução particular.

Resposta

y(x) = x^2 - 1 + 2,e^-x^2

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