(*) Suponha que você observe uma vez a cada segundo um sistema com 300 osciladores e 100 quanta de energia, para verificar se por acaso seu oscilador favorito possuía toda a energia (todos os 100 quanta) no instante da observação. Você espera que apenas uma vez a cada
vezes a energia esteja concentrada no seu oscilador favorito. Em média, quantos anos você terá que esperar? Compare o resultado à idade do Universo, que se acredita estar em torno de
anos. ( 1 ano
.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Você observa o sistema uma vez por segundo e quer saber quanto tempo, em anos, em média, terá que esperar até ver, numa observação, que o seu oscilador favorito contenha todos os
quanta. - O enunciado já afirma que isso ocorre, em média, apenas uma vez a cada ) observações.
- Uma observação =
segundo. - A conversão para anos usa
ano s.
As perguntas que vamos responder:
- Quantos anos, em média, isso demora?
- Comparar esse tempo com a idade do Universo, que é cerca de ) anos.
Passo 2
Explicando por que o número
) aparece (aula curta de contagem, bem mastigada).
- Temos
osciladores distinguidos e quanta indistinguíveis a distribuir. - O número total de microestados possíveis (distribuições) é dado pela fórmula do “stars and bars” (estrelas e barras): distribuir
quanta em caixas distintas tem
Aqui
e
, então o total é
.
- O número de microestados em que todo o
quanta está exatamente no oscilador favorito é (todos os outros com zero). - Assim a probabilidade
de observar, numa observação, todo o quanta no oscilador favorito é
- O enunciado nos dá implicitamente o valor recíproco dessa probabilidade:
ou seja, em média ocorre uma vez a cada
) observações.
Passo 3
Transformando o número de observações em tempo em segundos.
- Cada observação leva
segundo, portanto o tempo médio entre ocorrências em segundos é exatamente o mesmo número:
Passo 4
Converter segundos para anos usando
ano
s.
- Dividimos
por :
- Calculemos o fator
. Como , temos
- Portanto
Passo 5
Comparação com a idade do Universo.
- Idade do Universo dada:
anos. - Razão entre o tempo médio de espera e a idade do Universo:
- Interpretação: o tempo médio de espera é cerca de
vezes a idade do Universo — ou seja, inimaginavelmente maior.
Resposta
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