(*) Suponha que você observe uma vez a cada segundo um sistema com 300 osciladores e 100 quanta de energia, para verificar se por acaso seu oscilador favorito possuía toda a energia (todos os 100 quanta) no instante da observação. Você espera que apenas uma vez a cada 1,7 \times 10^{96} vezes a energia esteja concentrada no seu oscilador favorito. Em média, quantos anos você terá que esperar? Compare o resultado à idade do Universo, que se acredita estar em torno de 1 \times 10^{10} anos. ( 1 ano \approx \pi \times 10^{7} \mathrm{~s}.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Você observa o sistema uma vez por segundo e quer saber quanto tempo, em anos, em média, terá que esperar até ver, numa observação, que o seu oscilador favorito contenha todos os 100 quanta.
  • O enunciado já afirma que isso ocorre, em média, apenas uma vez a cada \(1,7\times 10^{96}) observações.
  • Uma observação = 1 segundo.
  • A conversão para anos usa 1 ano \approx \pi\times 10^{7} s.
    As perguntas que vamos responder:
  1. Quantos anos, em média, isso demora?
  2. Comparar esse tempo com a idade do Universo, que é cerca de \(1\times 10^{10}) anos.

Passo 2

Explicando por que o número \(1,7\times 10^{96}) aparece (aula curta de contagem, bem mastigada).
  • Temos 300 osciladores distinguidos e 100 quanta indistinguíveis a distribuir.
  • O número total de microestados possíveis (distribuições) é dado pela fórmula do “stars and bars” (estrelas e barras): distribuir q quanta em N caixas distintas tem
\binom{q+N-1}{q}.
Aqui q=100 e N=300, então o total é \displaystyle \binom{100+300-1}{100}=\binom{399}{100}.
  • O número de microestados em que todo o 100 quanta está exatamente no oscilador favorito é 1 (todos os outros com zero).
  • Assim a probabilidade p de observar, numa observação, todo o 100 quanta no oscilador favorito é
p=\frac{1}{\binom{399}{100}}.
  • O enunciado nos dá implicitamente o valor recíproco dessa probabilidade:
\frac{1}{p}=\binom{399}{100}\approx 1,7\times 10^{96},
ou seja, em média ocorre uma vez a cada \(1,7\times 10^{96}) observações.

Passo 3

Transformando o número de observações em tempo em segundos.
  • Cada observação leva 1 segundo, portanto o tempo médio entre ocorrências em segundos é exatamente o mesmo número:
T_{\text{segundos}} = 1,7\times 10^{96}\\ \text{segundos}.

Passo 4

Converter segundos para anos usando 1 ano \approx \pi\times 10^{7} s.
  • Dividimos T_{\text{segundos}} por \pi\times 10^{7}:
T_{\text{anos}}=\frac{1,7\times 10^{96}}{\pi\times 10^{7}}=\frac{1,7}{\pi}\times 10^{89}.
  • Calculemos o fator \frac{1,7}{\pi}. Como \pi\approx 3{,}14159265, temos
\frac{1,7}{\pi}\approx 0{,}54105\ldots
  • Portanto
T_{\text{anos}}\approx 0{,}54105\times 10^{89}=5{,}41\times 10^{88}\\ \text{anos}.

Passo 5

Comparação com a idade do Universo.
  • Idade do Universo dada: T_{\text{Uni}}=1\times 10^{10} anos.
  • Razão entre o tempo médio de espera e a idade do Universo:
\frac{T_{\text{anos}}}{T_{\text{Uni}}}=\frac{5{,}41\times 10^{88}}{1\times 10^{10}}=5{,}41\times 10^{78}.
  • Interpretação: o tempo médio de espera é cerca de 5{,}41\times 10^{78} vezes a idade do Universo — ou seja, inimaginavelmente maior.

Resposta

5{,}41\times 10^{88} anos
Cerca de 5{,}41\times 10^{78} vezes a idade do Universo.

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