(*) No interior de um recipiente isolado, um bloco de cobre a uma temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C} é posto em contato com um bloco de alumínio a uma temperatura de 45^{\circ} \mathrm{C}. Como resultado da transferência de 2500 J de energia do cobre para o alumínio, a temperatura final de equilíbrio entre os blocos é de 48^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Qual a variação aproximada na entropia do bloco de alumínio?
\mathbf{R :} \Delta S_{A l} \approx+17,1 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
(b) Qual a variação aproximada na entropia do bloco de cobre?
R: \Delta S_{C u} \approx-16,4 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
(c) Qual a variação aproximada na entropia do Universo?
\mathbf{R}: \Delta S_{\text {universo }} \approx+0,7 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
(d) Qual a variação na energia do Universo?
\mathbf{R}: \Delta E_{\text {universo }}=0 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte e pede (a)–(d):
  • Um bloco de cobre inicialmente a 50^{\circ}\mathrm{C} é posto em contato térmico com um bloco de alumínio inicialmente a 45^{\circ}\mathrm{C}.
  • Foi transferida do cobre para o alumínio a energia 2500\\ \mathrm{J}.
  • A temperatura final de equilíbrio é 48^{\circ}\mathrm{C}.
Perguntas:
(a) Qual a variação aproximada da entropia do bloco de alumínio?
(b) Qual a variação aproximada da entropia do bloco de cobre?
(c) Qual a variação aproximada da entropia do Universo (sistema isolado constituído pelos dois blocos)?
(d) Qual a variação da energia do Universo?
Informações importantes listadas (convertendo temperaturas para Kelvin porque fórmulas termodinâmicas usam Kelvin):
T_{Al,i}=45^{\circ}\mathrm{C}=318,15\\ \mathrm{K}, \quad T_{Cu,i}=50^{\circ}\mathrm{C}=323,15\\ \mathrm{K}, \quad T_f=48^{\circ}\mathrm{C}=321,15\\ \mathrm{K}.
Energia transferida para o alumínio: \;Q_{Al}=+2500\\ \mathrm{J}.
Logo para o cobre \;Q_{Cu}=-2500\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Explicação da relação calor — capacidade térmica e cálculo das capacidades dos blocos (aula rápida e prática).
Quando um corpo com capacidade térmica constante C (capacidade térmica do bloco, em \mathrm{J/K}) sofre uma variação de temperatura de T_i para T_f, a quantidade de calor trocada é
Q = C\,(T_f-T_i).
Aqui usamos C como a capacidade térmica total do bloco (não o calor específico). Podemos achar C de cada bloco a partir do Q conhecido e da variação de temperatura observada.
Para o alumínio:
T_{Al,i}=318,15\\ \mathrm{K},\quad T_f=321,15\\ \mathrm{K},\quad \Delta T_{Al}=T_f-T_{Al,i}=3{,}00\\ \mathrm{K}.
Portanto
C_{Al}=\frac{Q_{Al}}{\Delta T_{Al}}=\frac{2500}{3{,}00}=833{,}333\\ \mathrm{J/K}.
Para o cobre:
T_{Cu,i}=323,15\\ \mathrm{K},\quad T_f=321,15\\ \mathrm{K},\quad \Delta T_{Cu}=T_f-T_{Cu,i}=-2{,}00\\ \mathrm{K}.
Como Q_{Cu}=-2500\\ \mathrm{J},
C_{Cu}=\frac{Q_{Cu}}{\Delta T_{Cu}}=\frac{-2500}{-2{,}00}=1250\\ \mathrm{J/K}.
Comentário amigável: achamos as “capacidades térmicas” dos blocos usando apenas a energia transferida e a queda/elevação de temperatura — isso é bem útil em provas quando massa e calor específico não são dados.

Passo 3

A fórmula para a variação de entropia de um corpo com capacidade térmica constante C é obtida integrando \mathrm{d}S=\delta Q_{\text{rev}}/T. Como \delta Q_{\text{rev}}=C\,\mathrm{d}T,
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{C\,\mathrm{d}T}{T}=C\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Nesta fórmula:
  • C é a capacidade térmica do corpo (constante),
  • T_i e T_f são as temperaturas inicial e final em Kelvin,
  • \ln é o logaritmo natural.
Essa expressão é exata se C não varia significativamente com T, que é a hipótese padrão em exercícios tipo prova.

Passo 4

Cálculo da variação de entropia do bloco de alumínio (detalhando contas para que você consiga reproduzir na prova).
Usamos
\Delta S_{Al}=C_{Al}\ln\!\left(\frac{T_f}{T_{Al,i}}\right)
com C_{Al}=833{,}333\\ \mathrm{J/K}, T_f=321{,}15\\ \mathrm{K}, T_{Al,i}=318{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcule a razão das temperaturas:
\frac{T_f}{T_{Al,i}}=\frac{321{,}15}{318{,}15}\approx 1{,}00942.
O logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{321{,}15}{318{,}15}\right)\approx 0{,}00939.
Multiplicando:
\Delta S_{Al}\approx 833{,}333\times 0{,}00939\approx 7{,}82\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação rápida: o alumínio ganhou calor e, por isso, sua entropia aumentou em cerca de 7{,}82\\ \mathrm{J/K}. Dá para verificar também pela aproximação \Delta S\approx Q/T usando T\approx T_f; isso dá cerca de 2500/321{,}15\approx 7{,}78, compatível com nosso valor mais preciso.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia do bloco de cobre (passo a passo).
Usamos
\Delta S_{Cu}=C_{Cu}\ln\!\left(\frac{T_f}{T_{Cu,i}}\right)
com C_{Cu}=1250\\ \mathrm{J/K}, T_f=321{,}15\\ \mathrm{K}, T_{Cu,i}=323{,}15\\ \mathrm{K}.
Razão das temperaturas:
\frac{T_f}{T_{Cu,i}}=\frac{321{,}15}{323{,}15}\approx 0{,}99382.
Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{321{,}15}{323{,}15}\right)\approx -0{,}00621.
Multiplicando:
\Delta S_{Cu}\approx 1250\times(-0{,}00621)\approx -7{,}76\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação: o cobre perdeu calor, então a entropia do cobre diminuiu em cerca de 7{,}76\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Variação de entropia do Universo (os dois blocos isolados juntos).
Como o recipiente é isolado, a entropia total é soma das entropias dos blocos:
\Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{Al}+\Delta S_{Cu}.
Substituindo os valores aproximados:
\Delta S_{\text{universo}}\approx 7{,}82 + (-7{,}76)=0{,}06\\ \mathrm{J/K}.
Ou seja, aumento pequeno e positivo (o que confirma a segunda lei: entropia do Universo não diminui em processos espontâneos).
Observação rápida: também dá para obter esse resultado direto pela fórmula aproximada
\Delta S_{\text{universo}}\approx Q\left(\frac{1}{T_{f}}-\frac{1}{T_{hot}}\right)
com Q=2500\\ \mathrm{J}, T_f ou T_{cold} conforme aproximação; ambos levam a resultado do mesmo sinal pequeno positivo.

Passo 7

Variação da energia do Universo.
Energia é conservada: a energia que saiu do cobre entrou no alumínio. Assim
\Delta E_{\text{universo}}=Q_{Al}+Q_{Cu}=2500 + (-2500)=0\\ \mathrm{J}.
Portanto a variação da energia do Universo (do sistema isolado) é zero.

Resposta

(a) \Delta S_{Al}\approx +7,82\\ \mathrm{J/K}
(b) \Delta S_{Cu}\approx -7,76\\ \mathrm{J/K}
(c) \Delta S_{\text{universo}}\approx +0,06\\ \mathrm{J/K}
(d) \Delta E_{\text{universo}}=0\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados