(**) Uma nanopartícula que consiste de quatro átomos de ferro (objeto 1) tem inicialmente 1 quantum de energia. Ela é posta em contato com uma nanopartícula que consiste de dois átomos de ferro (objeto 2), que inicialmente tem 2 quanta de energia. A massa de um mol de ferro é de 56 g .
(a) Utilizando o modelo de Einstein para um sólido, calcule e trace o gráfico de
em função de
(o número de quanta no objeto 1 ),
em função de
e
em função de
(coloque as três curvas no mesmo gráfico). Explique sucintamente seu raciocínio.
R:
. O gráfico mostra máximo em
.
(b) Calcule a temperatura aproximada dos objetos no equilíbrio. Explicite quaisquer suposições ou aproximações que utilizar.
(a) Utilizando o modelo de Einstein para um sólido, calcule e trace o gráfico de
R:
(b) Calcule a temperatura aproximada dos objetos no equilíbrio. Explicite quaisquer suposições ou aproximações que utilizar.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede (bem claro e sem resolver nada ainda).\n
- Dois objetos (nanopartículas) no modelo de Einstein: objeto 1 tem
átomos de ferro; objeto 2 tem átomos de ferro.\n - Cada átomo tem
osciladores (graus de liberdade vibracionais), portanto o número de osciladores é\n \n - A energia total em quanta é
. Se chamarmos o número de quanta no objeto 1, então o objeto 2 tem .\n - O enunciado (parte a) pede: calcular e traçar
em função de , em função de e em função de , todas no mesmo gráfico; e explicar o raciocínio.\n - O enunciado (parte b) pede: calcular a temperatura aproximada dos objetos em equilíbrio e explicitar suposições/aproximações.\n
Passo 2
Breve aula: multiplicidade (número de microestados) no modelo de Einstein e por que usamos combinatória.\n
- No modelo de Einstein cada oscilador pode receber um número inteiro
de quanta de energia. Os quanta são indistinguíveis e os osciladores são distinguíveis. A distribuição de quanta entre osciladores tem número de microestados dado pela combinatória clássica de colocar bolas indistinguíveis em caixas distintas com possibilidade de caixa vazia.\n - A fórmula combinatória é a combinação com repetição:\n
\n - Aqui
é o número de microestados; é o número de quanta de energia do sistema; é o número de osciladores. Essa fórmula será usada tanto para o objeto 1 quanto para o objeto 2.\n
Passo 3
Aplicando a fórmula aos dois objetos — escrever as expressões pedidas (parte a).\n
- Para o objeto 1 (com
osciladores) a multiplicidade em função de é\n \n - Para o objeto 2 lembrando que
e a multiplicidade é\n \n - A multiplicidade total (sistemas independentes) é o produto\n
\n
(Observação: peguei os valores de
e
a partir do enunciado: 4 e 2 átomos e 3 osciladores por átomo.)\n
Passo 4
Preparação para calcular numericamente (parte a): valores possíveis de
e estratégia de cálculo.\n
- Como a energia total em quanta é
, só pode assumir valores inteiros .\n- Para cada vamos calcular , , e depois de cada uma. Vou mostrar as contas passo a passo para cada .\n
Passo 5
Cálculo direto de
e seus logaritmos para
.\n
- Caso
:\n \n
- Caso
:\n \n
- Caso
:\n \n
- Caso
:\n \n
- Para traçar
e isoladamente, calcule também os de e nos mesmos pontos (valores numéricos):\n \n
Passo 6
Interpretação gráfica e conclusão para (a).\n
- Se fizermos um gráfico com as três curvas
, e em função de , obtemos: \n - cresce com (mais quanta no objeto 1 aumentam suas maneiras de distribuir energia),\n - decresce com (porque diminui),\n - é a soma das duas curvas e atinge um máximo em (valores numéricos: para ).\n- Portanto o valor mais provável (o pico da multiplicidade total) é , como informado no enunciado; isto significa que no equilíbrio estatístico a nanopartícula de 4 átomos tende a ficar com 2 quanta e a de 2 átomos com 1 quantum.\n
Passo 7
Transição para (b): o que entendemos por temperatura aqui e a fórmula microcanônica.\n
- Em estatística microcanônica (sistemas isolados com energia fixa) definimos a entropia
por , onde é a constante de Boltzmann.\n- A temperatura microcanônica é dada por\n \n - Aqui
é a energia do sistema; como a energia vem em quanta de tamanho (cada quantum tem energia ), variações de correspondem a variações discretas de por .\n
Passo 8
Para sistemas com níveis discretos: aproximar a derivada por diferença finita e obter expressão prática para
.\n
- Usando diferença finita entre distribuições com
e quanta:\n \n - Para a multiplicidade da forma
podemos simplificar a razão:\n \n - Logo a expressão exata (diferença finita) é\n
\n
(É exata para a diferença finita entre
e
; para aproximar a derivada contínua usa-se Stirling e substitui-se
por
, conforme abaixo.)\n
Passo 9
Usando aproximação contínua (Stirling) para obter temperatura no equilíbrio e aplicá-la aos dois objetos — cálculo efetivo (parte b).\n
- Em sistemas maiores (ou na aproximação contínua usando Stirling) substituímos
por . Assim a relação aproximada é\n \n - No equilíbrio, as temperaturas dos dois objetos devem ser iguais. Então, usando a aproximação contínua, igualamos as expressões para os dois objetos:\n
\n - Substituindo
e o encontrados no máximo mais provável , verificamos:\n \n \n - Assim, na aproximação contínua as duas temperaturas são iguais e vale\n
\n - Em forma numérica relativa (sem conhecer
),\n \n
Passo 10
Discussão das suposições, justificativas e comentários finais (muito importante para a resposta de (b)).\n
- Suposições e aproximações usadas:\n 1. Usei o modelo de Einstein: osciladores independentes, mesmo
para todos, sem interação extra.\n 2. Para obter a forma simples de ( ) usei a aproximação contínua (Stirling / ), que é a aproximação padrão para ligar com uma expressão analítica. Essa aproximação é boa quando e/ou não são extremamente pequenos; aqui é pequeno (12 e 6), então é uma aproximação razoável, mas não exata.\n 3. Ignorei energia zero-point; trabalhei apenas com quanta móveis (a energia zero-point adicionaria uma constante igual a todos, não mudando a distribuição de quanta trocados).\n 4. Assumi que (energia de um quantum) é a mesma para os dois objetos (os osciladores são do mesmo material, ferro).\n- Observação sobre exatidão: se você calcular a derivada por diferença finita exata usando a fórmula do passo 8, as razões não dão exatamente o mesmo valor para e (pequena discrepância), porém a distribuição é exatamente a que maximiza a multiplicidade total no caso discreto (veja os valores numéricos do Passo 5). Em sistemas muito pequenos as equalizações são aproximadas; a igualdade exata de surge no limite termodinâmico.\n- Observação sobre a massa molar fornecida no enunciado: a massa molar do ferro ( g/mol) não é necessária para resolver as partes (a) e (b) porque lidamos com muito pequeno (número de átomos dados) e com energia em número de quanta . Se pedissem temperatura numérica em kelvin seria preciso conhecer (ou a frequência ) e aí a massa molar poderia entrar indiretamente na estimativa de ; como isso não foi dado, entregamos a resposta em função de .\n- Moral e incentivo: o procedimento é o de sempre — escrever , listar possibilidades discretas, comparar e usar para a temperatura; esses passos funcionam bem na prova. Vai dar certo!\n
Resposta
(a)
Valores numéricos para
:
. O gráfico (três curvas) mostra máximo em
.\n
(b) Aproximação contínua (Stirling) dá igualdade de temperaturas e\n onde
é a energia de um quantum (
). Suponho
igual para os dois objetos, ignorei zero-point e usei a aproximação
para
.
(b) Aproximação contínua (Stirling) dá igualdade de temperaturas e\n