Em certo município, o número diário de pacientes que precisam de condução pelas ambulâncias do SAMU para receber atendimento médico, tem distribuição de Poisson com média de 2,5 . Calcule a probabilidade de precisarem desse transporte: (I) no máximo 1 paciente em um dia qualquer; (II) mais pacientes do que os esperados em um dia qualquer; (III) não mais que os esperados em um período de dois dias.

Passo 1

O enunciado diz que o número diário X de pacientes que precisam de condução por ambulância segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=2,5. Precisamos calcular três probabilidades:
(I) \Pr(X\le1) num dia qualquer;
(II) \Pr(X>\mathbb{E}[X]) num dia qualquer (sabendo que \mathbb{E}[X]=\lambda=2,5);
(III) em um período de dois dias, a probabilidade de não exceder o valor esperado nesse intervalo (o total em dois dias é Poisson com parâmetro 2\lambda=5, e o valor esperado também é 5).

Passo 2

Cálculo de (I):
\Pr(X\le1) =\sum_{k=0}^{1} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} =e^{-2,5}\Bigl(\frac{2,5^0}{0!}+\frac{2,5^1}{1!}\Bigr) =e^{-2,5}\,(1+2,5).
Como e^{-2,5}\approx0,082085,
\Pr(X\le1)\approx0,082085\cdot3,5\approx0,2873.

Passo 3

Cálculo de (II): como \mathbb{E}[X]=2,5, “mais pacientes que os esperados” significa X\ge3. Então
\Pr(X>2,5)=\Pr(X\ge3) =1-\Pr(X\le2) =1-\sum_{k=0}^{2}e^{-2,5}\frac{2,5^k}{k!}.
Já temos \Pr(X\le1)\approx0,2873 e \Pr(X=2)=e^{-2,5}\frac{2,5^2}{2!}\approx0,2565,
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\Pr(X\ge3)\approx1-(0,2873+0,2565)=1-0,5438\approx0,4562.

Passo 4

Cálculo de (III): em dois dias a variável soma Y\sim\mathrm{Poisson}(5) e o valor esperado é 5. “Não mais que os esperados” significa Y\le5, logo
\Pr(Y\le5)=\sum_{k=0}^{5}e^{-5}\frac{5^k}{k!}.
Numericamente, com e^{-5}\approx0,0067379, obtemos
\Pr(Y\le5)\approx0,0067379\Bigl(1+5+\tfrac{5^2}{2!}+\tfrac{5^3}{3!}+\tfrac{5^4}{4!}+\tfrac{5^5}{5!}\Bigr)\approx0,61596.

Resposta

(I) \Pr(X\le1)=e^{-2,5}(1+2,5)\approx0,2873
(II) \Pr(X>\mathbb{E}[X])=\Pr(X\ge3)=1-\sum_{k=0}^{2}e^{-2,5}\tfrac{2,5^k}{k!}\approx0,4562
(III) \Pr(Y\le5)=\sum_{k=0}^{5}e^{-5}\tfrac{5^k}{k!}\approx0,61596

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