O tempo necessário para se realizar certa operação industrial (em segundos) foi cronometrado, sendo feita 40 medições:
45 37 39 48 51 40 53 49 39 41 45 43 45 34 45 35 41 57 38 46
46 58 57 36 58 35 31 59 44 57 45 44 38 43 33 56 47 48 44 49
a) Construir a distribuição de frequências em classes (usar k=7 );
b) calcular as frequências relativa e acumulada;
c) construir o histograma de frequências e diagrama de ramo e folhas.

Passo 1

O enunciado fornece as durações (em segundos) de uma operação industrial com n=40 observações. Precisa-se:
a) agrupar esses dados em k=7 classes e obter a tabela de frequência;
b) calcular a frequência relativa e a frequência acumulada;
c) construir o histograma de frequências e o diagrama de ramo e folhas.
Conteúdos usados: amplitude \text{R}=\max-\min, número de classes k, largura de classe h=\text{R}/k, cálculo de frequência absoluta, relativa e acumulada, histograma e stem-and-leaf.

Passo 2

Encontrar mínimo, máximo, amplitude e largura de classe: \min=31, \max=59.
\text{R} = 59 - 31 = 28.
Como k=7,
h = \frac{\text{R}}{k} = \frac{28}{7} = 4.
Portanto as classes terão amplitude 4 unidades.

Passo 3

Definir as classes (meio-abertas, exceto a última) partindo de 31, de largura 4:
[31,35),\;[35,39),\;[39,43),\;[43,47),\;[47,51),\;[51,55),\;[55,59].
Contando quantas observações caem em cada classe (lista ordenada ajuda a contar), obtemos:
Classe [31,35): \{31,33,34\} f_1=3
Classe [35,39): \{35,35,36,37,38,38\} f_2=6
Classe [39,43): \{39,39,40,41,41\} f_3=5
Classe [43,47): \{43,43,44,44,44,45,45,45,45,45,46,46\} f_4=12
Classe [47,51): \{47,48,48,49,49\} f_5=5
Classe [51,55): \{51,53\} f_6=2
Classe [55,59]: \{56,57,57,57,58,58,59\} f_7=7
Verificação: 3+6+5+12+5+2+7=40.

Passo 4

Calcular frequência relativa f_i/n e frequência acumulada F_i:
Classe │ f_i f_i/n F_i [31,35) │ 3 │ 0,075 │ 3 [35,39) │ 6 │ 0,150 │ 9 [39,43) │ 5 │ 0,125 │ 14 [43,47) │ 12 │ 0,300 │ 26 [47,51) │ 5 │ 0,125 │ 31 [51,55) │ 2 │ 0,050 │ 33 [55,59] │ 7 │ 0,175 │ 40
Confirma-se \sum f_i/n=1.

Passo 5

Histograma de frequências: cada classe no eixo x e retângulo de altura f_i no eixo y. Em ASCII, fica por exemplo: [31,35) │ *** [35,39) │ ****** [39,43) │ ***** [43,47) │ ************ [47,51) │ ***** [51,55) │ ** [55,59] │ *******

Passo 6

Diagrama de ramo e folhas (tens | unidades):
3 │ 134556788994 011334445555566788995 136777889

Resposta

a) Distribuição em classes:
Classes [31,35), [35,39), [39,43), [43,47), [47,51), [51,55), [55,59] com frequências absolutas (3,6,5,12,5,2,7).
b) Frequências relativa e acumulada: \bigl(f_i/n\bigr)=(0,075;0,150;0,125;0,300;0,125;0,050;0,175), F_i=(3;9;14;26;31;33;40).
c) Histograma de frequências: [31,35) – ***; [35,39) – ******; [39,43) – *****; [43,47) – ************; [47,51) – *****; [51,55) – **; [55,59] – *******.
Diagrama de ramo e folhas:
3 │ 134556788994 011334445555566788995 136777889

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