As porcentagem de homens maiores de 60 anos, em um certo município, que são brancos, hipertensos são: 50 \% e 20 \%. Para esse grupo e município (I) Justificadamente calcule a proporção de homens brancos e hipertensos; (II) Calcule a probabilidade de haver menos brancos que os esperados em uma amostra aleatória de 8 indivíduos; (III) Calcule a probabilidade de haver mais hipertensos que os esperados em uma amostra aleatória de 10 indivíduos.

Passo 1

O enunciado diz que, entre homens com mais de 60 anos num certo município, a proporção que é branca é de 50\% e a que é hipertensa é de 20\%. Precisamos:
  1. Calcular a proporção de homens que são ao mesmo tempo brancos e hipertensos.
  2. Numa amostra aleatória de 8 indivíduos, achar a probabilidade de haver menos brancos do que o valor esperado.
  3. Numa amostra aleatória de 10 indivíduos, achar a probabilidade de haver mais hipertensos do que o valor esperado.
Os itens (2) e (3) envolvem modelar o número de sucessos em amostras fixas como variáveis aleatórias binomiais.

Passo 2

Para calcular a proporção de homens que são brancos e hipertensos, fazemos a hipótese de independência entre ser branco e ser hipertenso. Nesse caso, seja W o evento “ser branco” e H o evento “ser hipertenso”, temos
P(W\cap H)=P(W)\,P(H)=0{,}5\times0{,}2=0{,}1.
Isto é, 10\% dos homens com mais de 60 anos são simultaneamente brancos e hipertensos.

Passo 3

No item (II) modelamos o número X de brancos numa amostra de n=8 por
X\sim\mathrm{Binomial}(n=8,p=0{,}5),
pois cada indivíduo tem probabilidade p=0{,}5 de ser branco e amostras são independentes. O valor esperado é
E[X]=np=8\times0{,}5=4.
Queremos P(X<4), ou seja
P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{8}{k}(0{,}5)^k(0{,}5)^{8-k} =\frac{1+8+28+56}{256} =\frac{93}{256}\approx0{,}3633.

Passo 4

No item (III) seja Y o número de hipertensos numa amostra de n=10. Como cada um tem probabilidade p=0{,}2 de ser hipertenso,
Y\sim\mathrm{Binomial}(n=10,p=0{,}2),
e o valor esperado é
E[Y]=10\times0{,}2=2.
Queremos a probabilidade de haver mais hipertensos que o esperado, isto é P(Y>2). Então
P(Y>2)=1-P(Y\le2) =1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}(0{,}2)^k(0{,}8)^{10-k}.
Calculando cada termo:
P(Y=0)=0{,}8^{10}\approx0{,}107374, \quad P(Y=1)=10\cdot0{,}2\cdot0{,}8^9\approx0{,}268437,
P(Y=2)=45\cdot0{,}2^2\cdot0{,}8^8\approx0{,}301993,
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P(Y\le2)\approx0{,}107374+0{,}268437+0{,}301993=0{,}677804,
P(Y>2)\approx1-0{,}677804=0{,}322196\approx0{,}3222.

Resposta

(I) 10\%.
(II) P(X<4)=93/256\approx0{,}3633.
(III) P(Y>2)\approx0{,}3222.

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