Em um certo problema unidimensional, a energia potencial de uma massa m a uma distância x da origem é dada por
onde
e
e
são constantes positivas.
a) Encontre a posição de equilíbrio
.
b) Chame de
a distância a partir do equilíbrio e use a expansão de Taylor de
até segunda ordem para mostrar que, para pequenos valores de
constante
.
c) Qual a frequência angular de pequenas oscilações deste sistema em torno de sua posição de equilíbrio?
a) Encontre a posição de equilíbrio
b) Chame de
c) Qual a frequência angular de pequenas oscilações deste sistema em torno de sua posição de equilíbrio?
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado (tudo isso foi extraído do enunciado).
- Dados (constantes positivas):
, , , e a massa . - A energia potencial é
As perguntas são:
(a) Encontrar a posição de equilíbrio .
(b) Definindo como o deslocamento a partir do equilíbrio (
), usar a expansão de Taylor de
até segunda ordem para mostrar que, para pequenos
,
constante
.
(c) Determinar a frequência angular das pequenas oscilações em torno de .
(a) Encontrar a posição de equilíbrio
(b) Definindo
(c) Determinar a frequência angular das pequenas oscilações em torno de
Passo 2
Entendendo o que é posição de equilíbrio e como achá-la (dica física e matemática).
- Em mecânica, a força associada à potencial é
. - Uma posição de equilíbrio estática ocorre onde a força é zero, isto é, onde a derivada da energia potencial é zero:
Agora calculamos
passo a passo:
Derivando termo a termo:
Portanto
Impondo
obtemos
Multiplicando por
e isolando
:
Como
(domínio dado), tomamos a raiz positiva:
(Isto responde a parte (a).)
Passo 3
Verificando estabilidade (mínimo) e encontrando
.
Para saber se o ponto crítico é mínimo (posição de equilíbrio estável), calculamos a segunda derivada:
Partimos de
Para saber se o ponto crítico é mínimo (posição de equilíbrio estável), calculamos a segunda derivada:
Partimos de
Derivando de novo:
Então
Avaliaremos em
:
Observe que
(porque todas as constantes são positivas), logo
é um mínimo de
: equilíbrio estável.
Passo 4
Expansão de Taylor até a segunda ordem e identificação do termo quadrático.
Lembrete da fórmula de Taylor de uma função suave em torno de
:
Lembrete da fórmula de Taylor de uma função suave
Aqui
é pequeno. Já sabemos que
, portanto os termos lineares desaparecem e ficamos com:
Para pequenos
podemos desprezar
e escrever
Definindo
, obtemos a forma pedida:
onde a constante é
e
Passo 5
Frequência angular das pequenas oscilações.
Quando a energia potencial próxima do mínimo tem a forma , o movimento para pequenos deslocamentos
é aquele de um oscilador harmônico linear com equação de movimento
Quando a energia potencial próxima do mínimo tem a forma
A solução é harmônica com frequência angular
Substituindo o valor de
encontrado:
Resposta
(a)
(b) Para pequenos
:
(c)