Em um certo problema unidimensional, a energia potencial de uma massa m a uma distância x da origem é dada por
U(x)=U_{0}\left(\frac{x}{R}+\lambda^{2} \frac{R}{x}\right)
onde 0<x<\infty e U_{0}, \mathrm{R} e \lambda são constantes positivas.
a) Encontre a posição de equilíbrio x_{0}.
b) Chame de h a distância a partir do equilíbrio e use a expansão de Taylor de U\left(x_{0}+h\right) até segunda ordem para mostrar que, para pequenos valores de h, U(h)= constante +1 / 2 k h^{2}.
c) Qual a frequência angular de pequenas oscilações deste sistema em torno de sua posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado (tudo isso foi extraído do enunciado).
  • Dados (constantes positivas): U_{0}, R, \lambda, e a massa m.
  • A energia potencial é
U(x)=U_{0}\left(\frac{x}{R}+\lambda^{2}\frac{R}{x}\right), \qquad 0<x<\infty.
As perguntas são:
(a) Encontrar a posição de equilíbrio x_{0}.
(b) Definindo h como o deslocamento a partir do equilíbrio ( x=x_{0}+h), usar a expansão de Taylor de U(x_{0}+h) até segunda ordem para mostrar que, para pequenos h, U(h)= constante +\tfrac{1}{2}k h^{2}.
(c) Determinar a frequência angular das pequenas oscilações em torno de x_{0}.

Passo 2

Entendendo o que é posição de equilíbrio e como achá-la (dica física e matemática).
  • Em mecânica, a força associada à potencial é F(x)=-\dfrac{dU}{dx}.
  • Uma posição de equilíbrio estática ocorre onde a força é zero, isto é, onde a derivada da energia potencial é zero:
U'(x_{0})=0.
Agora calculamos U'(x) passo a passo:
U(x)=U_{0}\left(\frac{x}{R}+\lambda^{2}\frac{R}{x}\right).
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{R}\right)=\frac{1}{R}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left(\lambda^{2}\frac{R}{x}\right)=\lambda^{2}R\cdot\frac{d}{dx}\!\left(x^{-1}\right)=-\lambda^{2}\frac{R}{x^{2}}.
Portanto
U'(x)=U_{0}\!\left(\frac{1}{R}-\lambda^{2}\frac{R}{x^{2}}\right).
Impondo U'(x_{0})=0 obtemos
\frac{1}{R}-\lambda^{2}\frac{R}{x_{0}^{2}}=0.
Multiplicando por R e isolando x_{0}^{2}:
1=\lambda^{2}\frac{R^{2}}{x_{0}^{2}} \quad\Rightarrow\quad x_{0}^{2}=\lambda^{2}R^{2}.
Como x>0 (domínio dado), tomamos a raiz positiva:
x_{0}=\lambda R.
(Isto responde a parte (a).)

Passo 3

Verificando estabilidade (mínimo) e encontrando U''(x).
Para saber se o ponto crítico é mínimo (posição de equilíbrio estável), calculamos a segunda derivada:
Partimos de
U'(x)=U_{0}\!\left(\frac{1}{R}-\lambda^{2}\frac{R}{x^{2}}\right).
Derivando de novo:
U''(x)=U_{0}\cdot\left(0 - \lambda^{2}R\cdot\frac{d}{dx}\!\left(x^{-2}\right)\right) =U_{0}\cdot\left(-\lambda^{2}R\cdot(-2)x^{-3}\right).
Então
U''(x)=2U_{0}\lambda^{2}\frac{R}{x^{3}}.
Avaliaremos em x_{0}=\lambda R:
U''(x_{0})=2U_{0}\lambda^{2}\frac{R}{(\lambda R)^{3}} =2U_{0}\lambda^{2}\frac{R}{\lambda^{3}R^{3}} =\frac{2U_{0}}{\lambda R^{2}}.
Observe que U''(x_{0})>0 (porque todas as constantes são positivas), logo x_{0} é um mínimo de U: equilíbrio estável.

Passo 4

Expansão de Taylor até a segunda ordem e identificação do termo quadrático.
Lembrete da fórmula de Taylor de uma função suave U(x) em torno de x_{0}:
U(x_{0}+h)=U(x_{0})+U'(x_{0})\,h+\frac{1}{2}U''(x_{0})\,h^{2}+\mathcal{O}(h^{3}).
Aqui h é pequeno. Já sabemos que U'(x_{0})=0, portanto os termos lineares desaparecem e ficamos com:
U(x_{0}+h)=U(x_{0})+\frac{1}{2}U''(x_{0})\,h^{2}+\mathcal{O}(h^{3}).
Para pequenos h podemos desprezar \mathcal{O}(h^{3}) e escrever
U(x_{0}+h)\approx U(x_{0})+\frac{1}{2}U''(x_{0})\,h^{2}.
Definindo k\equiv U''(x_{0}), obtemos a forma pedida:
U(h)=\text{constante}+\frac{1}{2}k h^{2},
onde a constante é U(x_{0}) e
k=U''(x_{0})=\frac{2U_{0}}{\lambda R^{2}}.

Passo 5

Frequência angular das pequenas oscilações.
Quando a energia potencial próxima do mínimo tem a forma \tfrac{1}{2}k h^{2}, o movimento para pequenos deslocamentos h(t) é aquele de um oscilador harmônico linear com equação de movimento
m\ddot{h} + k h = 0.
A solução é harmônica com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo o valor de k encontrado:
\omega=\sqrt{\frac{1}{m}\cdot\frac{2U_{0}}{\lambda R^{2}}} =\sqrt{\frac{2U_{0}}{m\,\lambda\,R^{2}}}.

Resposta

(a) x_{0}=\lambda R
(b) Para pequenos h:
U(x_{0}+h)=U(x_{0})+\frac{1}{2}k h^{2}+\mathcal{O}(h^{3}), \quad\text{com}\quad k=U''(x_{0})=\frac{2U_{0}}{\lambda R^{2}}.
(c) \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{2U_{0}}{m\,\lambda\,R^{2}}}

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