Um certo processo requer 0,125 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água a pressão de 350 KPa . Esta água deve ser retirada de um tanque que apresenta pressão constante e igual a 650 KPa . O comprimento da tubulação necessária é 115 metros e deve ser construída com tubos de ferro galvanizado. Admita que as diferenças de nível sejam desprezíveis e determine o diâmetro da tubulação.

Passo 1

O enunciado dá vazão de água \,Q=0,125\;\mathrm{m^3/s}, pressão na saída p_2=350\;\mathrm{kPa} e pressão no tanque p_1=650\;\mathrm{kPa}. A tubulação tem comprimento L=115\;\mathrm{m} e é de ferro galvanizado (rugosidade típica \epsilon\approx0{,}15\;\mathrm{mm}). Desprezam-se diferenças de nível.
Conteúdo: equação de energia de Bernoulli com perda de carga por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach) e cálculo iterativo do fator de atrito via equação de Colebrook.

Passo 2

Converter a diferença de pressão em perda de carga (carga hidráulica) usando \gamma=\rho g com \rho=1000\;\mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2}:
h_L \;=\;\frac{p_1 - p_2}{\gamma} \;=\;\frac{(650-350)\times10^3}{1000\cdot9{,}81} \;\approx\;30{,}58\;\mathrm{m}.

Passo 3

Pela fórmula de Darcy–Weisbach,
h_L \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde V=Q/A e A=\pi D^2/4. Substituindo V^2=(4Q/(\pi D^2))^2, obtemos
h_L \;=\;\frac{8\,f\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,D^5}.
Rearranjando para D:
D^5 \;=\;\frac{8\,f\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,h_L}.

Passo 4

Assumir fator de atrito inicial \,f_0=0{,}02.
Calcular
D_0^5 \;=\;\frac{8\cdot0{,}02\cdot115\cdot(0{,}125)^2}{\pi^2\cdot9{,}81\cdot30{,}58} \approx9{,}74\times10^{-5},
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D_0 \approx(9{,}74\times10^{-5})^{1/5}\approx0{,}158\;\mathrm{m}.

Passo 5

Com D_0 calcula-se V_0=4Q/(\pi D_0^2)\approx6{,}37\;\mathrm{m/s} e número de Reynolds
\mathrm{Re}_0=\frac{V_0 D_0}{\nu}\approx\frac{6{,}37\cdot0{,}158}{1\times10^{-6}}\approx1{,}01\times10^6.
A rugosidade relativa é \epsilon/D_0=0{,}00015/0{,}158\approx9{,}5\times10^{-4}.
Usa-se Colebrook para refinar f:
\frac1{\sqrt{f}} \;=\; -2\,\log\!\Bigl(\frac{\epsilon/D_0}{3{,}7} \;+\;\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}_0\,\sqrt{f}}\Bigr).
Iterando (p.ex. por substituição), chega-se a
f_1\approx0{,}0194.

Passo 6

Recalcular D com f_1:
D_1^5 =\frac{8\cdot0{,}0194\cdot115\cdot(0{,}125)^2}{\pi^2\cdot9{,}81\cdot30{,}58} \approx9{,}45\times10^{-5},
D_1=(9{,}45\times10^{-5})^{1/5}\approx0{,}156\;\mathrm{m}.
Em nova iteração o f mal se altera, mostrando convergência.

Passo 7

Adota-se então o diâmetro interno final
D\approx0{,}156\;\mathrm{m}.
Em bitolas comerciais, escolhe-se D=150\;\mathrm{mm}.

Resposta

O diâmetro interno da tubulação deve ser aproximadamente D=0{,}156\;\mathrm{m}, escolhendo-se comercialmente 150\;\mathrm{mm}.

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