Uma tubulação deve conectar um tanque grande que contém água a uma pressão manométrica de 230 kPa , a outro tanque grande e exposto à atmosfera. O projeto básico da tubulação indica que o comprimento total dos tubos (construídos em aço comercial) necessário para a implementação do sistema é igual a 1150 m . Sabendo que a superfície livre da água no tanque aberto para a atmosfera está 56,0 \mathrm{~m} abaixo da superfície livre da água no tanque pressurizado, determine o diâmetro interno da tubulação necessário para que a vazão na tubulação seja igual a 0,075 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Admita que as perdas de carga localizadas são desprezíveis.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos levar água de um tanque pressurizado a 230\:\text{kPa} de pressão manométrica até um tanque aberto à atmosfera. A diferença de cota entre as superfícies livres é de 56{,}0\:\text{m}, o comprimento total da tubulação de aço é L=1150\:\text{m} e a vazão desejada é Q=0{,}075\:\mathrm{m^3/s}. Vamos usar Bernoulli entre as duas superfícies livres para obter a altura disponível H, a fórmula de Darcy–Weisbach para perdas de carga distribuídas e a equação de Colebrook para encontrar o diâmetro interno D.

Passo 2

Aplicando a equação de Bernoulli entre a superfície livre do tanque pressurizado (ponto 1) e a superfície livre do tanque aberto (ponto 2), desprezando perdas localizadas:
\frac{p_1}{\rho g} + z_1 \;=\;\frac{p_2}{\rho g} + z_2 + h_f.
Como p_1 - p_2 =230\,000\:\mathrm{Pa}, \rho=1000\:\mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\:\mathrm{m/s^2} e z_1-z_2=56{,}0\:\mathrm{m}, a altura disponível é
H \;=\;\frac{p_1-p_2}{\rho g}+ (z_1-z_2) \;=\;\frac{230\,000}{1000\cdot9{,}81}+56{,}0 \;\approx\;23{,}46+56{,}0 \;=\;79{,}46\:\mathrm{m}.

Passo 3

As perdas de carga distribuídas pela equação de Darcy–Weisbach são
h_f \;=\;f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde V é a velocidade média no tubo e f o fator de atrito de Darcy. A velocidade relaciona-se com a vazão por
V \;=\;\frac{Q}{A} \quad\text{e}\quad A \;=\;\frac{\pi D^2}{4}.
Igualando h_f=H obtemos
H \;=\;f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\Bigl(\frac{4Q}{\pi D^2}\Bigr)^2 \;=\;\frac{8fL\,Q^2}{\pi^2g\,D^4}.

Passo 4

O fator de atrito f em escoamento turbulento numa tubulação de aço comercial (rugosidade \varepsilon=4{,}5\times10^{-5}\:\mathrm{m}) obedece à equação de Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} \;=\; -2\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2,51}{Re\,\sqrt{f}}\Bigr),
com o número de Reynolds
Re=\frac{V\,D}{\nu},
tomando \nu=1{,}0\times10^{-6}\:\mathrm{m^2/s}.

Passo 5

Para encontrar D fazemos um procedimento iterativo:
  1. Escolhemos um palpite inicial de D e calculamos V=Q/(\pi D^2/4) e Re.
  2. Assumimos um valor inicial de f (por exemplo, 0{,}02) e iteramos na equação de Colebrook até convergir em f.
  3. Com f ajustado, calculamos
H_\text{calc} =\frac{8fL\,Q^2}{\pi^2g\,D^4}
e comparamos com H=79{,}46\:\mathrm{m}. Ajustamos D e repetimos até que H_\text{calc}\approx H.

Passo 6

Efetuando a iteração:
  • Para D=0{,}10\:\mathrm{m} obtemos f\approx0{,}0168 e H_\text{calc}\approx90{,}0\:\mathrm{m} (maior que 79{,}46\:\mathrm{m}, logo D deve aumentar).
  • Para D=0{,}105\:\mathrm{m} obtemos f\approx0{,}0167 e H_\text{calc}\approx73{,}4\:\mathrm{m} (menor que 79{,}46\:\mathrm{m}, logo D deve diminuir).
  • Interpolando, em D=0{,}103\:\mathrm{m} converge para f\approx0{,}0168 e
H_\text{calc}\approx79{,}62\:\mathrm{m}\approx79{,}46\:\mathrm{m}.

Resposta

O diâmetro interno necessário é aproximadamente
\boxed{D \approx 0{,}103\:\mathrm{m}.}

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