Uma tubulação de aço comercial é usada para ligar dois pontos. O ponto 1 está localizado a 1554 metros acima do nível do mar e à pressão atmosférica. O ponto 2 recebe água a 870 KPa e encontra-se a 1023 metros acima do nível do mar. O comprimento total da tubulação que liga os dois pontos é de 650 metros e a vazão é de 1,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Desconsidere as perdas de carga localizadas e determine o diâmetro desta tubulação.

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação de aço que liga dois pontos com altura e pressão diferentes e fluxo de água \,Q=1{,}0\;\mathrm{m^3/s}. O ponto 1 está a z_1=1554\;\mathrm{m} com pressão atmosférica p_1=1\;\mathrm{atm}\approx101{,}3\;\mathrm{kPa}, e o ponto 2 a z_2=1023\;\mathrm{m} com p_2=870\;\mathrm{kPa}. O comprimento da tubulação é L=650\;\mathrm{m} e desprezamos perdas localizadas. Vamos usar o teorema de Bernoulli entre 1 e 2, incluindo perda de carga h_f, e a equação de Darcy–Weisbach para h_f.

Passo 2

Pelo teorema de Bernoulli com perda de carga,
\frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{\alpha V^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g}+z_2+\frac{\alpha V^2}{2g}+h_f,
como o diâmetro é constante, os termos de velocidade se cancelam ( \alpha_1=\alpha_2). Logo
h_f = \frac{p_1}{\rho g}+z_1-\Bigl(\frac{p_2}{\rho g}+z_2\Bigr).

Passo 3

Calculando as cargas de pressão e elevação:
\frac{p_1}{\rho g} =\frac{101300}{1000\cdot9{,}81}\approx10{,}33\;\mathrm{m}, \quad \frac{p_2}{\rho g} =\frac{870000}{1000\cdot9{,}81}\approx88{,}69\;\mathrm{m}.
Logo
h_f =(10{,}33+1554)-(88{,}69+1023) \approx452{,}6\;\mathrm{m}.

Passo 4

A equação de Darcy–Weisbach diz
h_f =f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde V=Q/A=4Q/(\pi D^2). Substituindo V obtemos
h_f =f\;\frac{8\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,D^5}.
Isolando D^5:
D^5 =\frac{f\,8\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,h_f}.

Passo 5

Precisamos de f que depende de D via número de Reynolds e rugosidade relativa. Para tubulação de aço comercial, tomamos rugosidade absoluta
\epsilon=0{,}045\;\mathrm{mm}=4{,}5\times10^{-5}\;\mathrm{m}.
Usamos a fórmula de Swamee–Jain:
f =0{,}25\biggl[\log_{10}\!\Bigl(\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\Re^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2},
com \Re=V\,D/\nu e \nu=1{,}0\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}. Faremos iterações:
(i) chute inicial f=0{,}02 em
D =\biggl(\frac{0{,}02\cdot8\cdot650\cdot1^2}{\pi^2\cdot9{,}81\cdot452{,}6}\biggr)^{1/5} \approx0{,}298\;\mathrm{m}.
(ii) com D=0{,}298\;\mathrm{m} calculamos
V=\frac{4\cdot1}{\pi\,(0{,}298)^2}\approx14{,}3\;\mathrm{m/s},\quad \Re\approx4{,}3\times10^6,
e
f =0{,}25\biggl[\log_{10}\!\Bigl(\frac{4{,}5\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}298} +\frac{5{,}74}{(4{,}3\times10^6)^{0,9}} \Bigr)\biggr]^{-2} \approx0{,}0130.
(iii) com f=0{,}0130 atualizamos
D\approx\Bigl(0{,}1189\cdot0{,}0130\Bigr)^{1/5}\approx0{,}274\;\mathrm{m}.
(iv) recalculando V, \Re e f com D=0{,}274\;\mathrm{m} obtemos
\Re\approx4{,}7\times10^6 e
f \approx0{,}0132,
dando novo
D =\bigl(0{,}1189\cdot0{,}0132\bigr)^{1/5} \approx0{,}276\;\mathrm{m}.
A convergência já está atingida.

Resposta

O diâmetro da tubulação deve ser aproximadamente 0{,}28\;\mathrm{m} (280 mm).

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