Certo produto químico dissolve-se em água, numa razão que é proporcional ao produto da quantidade não dissolvida pela diferença entre a concentração de uma solução saturada e a concentração da solução existente. Em 100 gramas de uma solução saturada estão dissolvidos 50 gramas de substância. Sabendo que se agitando 30 gramas da substância em 100 gramas de água, 10 gramas da solução são dissolvidas em 2 horas. a) Exprima os fatos na forma de uma equação diferencial e b) através desta equação diferencial determine quantas gramas serão dissolvidas no fim de 5 horas. (considere que: sendo m o número de gramas de substância não dissolvidas no tempo t, a concentração da solução é \frac{30-m}{100} e a da solução saturada é \frac{50}{100} ).

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de dissolução é proporcional ao produto da massa não dissolvida pela diferença entre a concentração saturada e a concentração atual. Temos inicialmente 30 g de soluto em 100 g de água, de modo que, em tempo t, seja m(t) a massa que ainda não se dissolveu. A concentração atual é
C(t) = \frac{30 - m(t)}{100},
e a concentração saturada é
C_s = \frac{50}{100} = 0,5.
O conteúdo é modelagem por equação diferencial de primeira ordem e resolução por separação de variáveis.

Passo 2

A diferença de concentrações é
C_s - C(t) = 0,5 - \frac{30 - m}{100} = \frac{50 - (30 - m)}{100} = \frac{20 + m}{100}.
Pela proporcionalidade, a taxa de variação de m satisfaz
\frac{dm}{dt} = -k\,m\bigl(C_s - C(t)\bigr) = -k\,m\;\frac{20 + m}{100}.
Essa é a equação diferencial pedida:
\boxed{\frac{dm}{dt} = -\frac{k}{100}\,m\,(m + 20).}

Passo 3

Para encontrar k usamos a condição de que, após 2 h, dissolveram-se 10 g, logo m(2)=30-10=20. Resolvendo por separação:
\int \frac{dm}{m(m+20)} = -\frac{k}{100}\int dt.
Como
\frac{1}{m(m+20)} = \frac{1}{20}\Bigl(\frac{1}{m} - \frac{1}{m+20}\Bigr),
temos
\frac{1}{20}\ln\frac{m}{m+20} = -\frac{k}{100}\,t + C.
Em t=0, m(0)=30, logo
C = \frac{1}{20}\ln\frac{30}{50} = \frac{1}{20}\ln\frac{3}{5}.
Em t=2, m=20, substituindo:
\frac{1}{20}\ln\frac{20}{40} = -\frac{k}{100}\cdot 2 + \frac{1}{20}\ln\frac{3}{5}.
Isto é
\frac{1}{20}(-\ln 2) = -\frac{2k}{100} + \frac{1}{20}\ln\frac{3}{5}.
Simplificando, obtém-se
k = \frac{5}{2}\ln\frac{6}{5}.

Passo 4

A solução implícita geral é
\ln\frac{m}{m+20} = -\frac{k}{5}\,t + \ln\frac{3}{5}.
Para t=5:
\ln\frac{m(5)}{m(5)+20} = -\frac{k}{5}\cdot 5 + \ln\frac{3}{5} = -k + \ln\frac{3}{5}.
Logo
\frac{m(5)}{m(5)+20} = \frac{3}{5}\,e^{-k} = \frac{3}{5}\biggl(\frac{5}{6}\biggr)^{5/2}.
Resolvendo para m(5) numericamente dá aproximadamente
m(5)\approx 12,31\text{ g}
ainda não dissolvidos.

Passo 5

A massa dissolvida ao fim de 5 h é
30 - m(5) \approx 30 - 12,31 \approx 17,69\text{ g}.

Resposta

A equação diferencial é
\frac{dm}{dt} = -\frac{k}{100}\,m\,(m + 20),
com k=\tfrac{5}{2}\ln\!\tfrac{6}{5}.
Ao fim de 5 h, dissolvem-se aproximadamente \boxed{17{,}7\text{ g}}.

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