Resolver a equação diferencial (x-2) y^{\prime}=y+2(x-2)^{3}
\text { Algumas equações que podem ser necessárias: } \quad \frac{d T}{d t}=-\lambda \cdot\left(T-T_{a}\right), \quad \frac{d m}{d t}=k .çõá

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(x-2)\,y' = y + 2\,(x-2)^3.
Isto é uma equação linear em y. Vamos reescrevê-la no “formato padrão” y'+p(x)\,y = q(x) e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x-2 (supondo x\neq2), obtemos
y' - \frac{1}{x-2}\,y = 2\,(x-2)^2.
Aqui identificamos
p(x) = -\frac{1}{x-2}, \quad q(x) = 2\,(x-2)^2.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\frac{1}{x-2}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\ln|x-2|\bigr) = \frac{1}{x-2}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x) vem
\frac{1}{x-2}\,y' \;-\;\frac{1}{(x-2)^2}\,y = 2\,(x-2).
O lado esquerdo é justamente a derivada de \dfrac{y}{x-2}, pois
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x-2}\Bigr) = \frac{(x-2)\,y' - y}{(x-2)^2}.

Passo 5

Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x-2}\Bigr) = 2\,(x-2).
Integramos em x:
\frac{y}{x-2} = \int 2\,(x-2)\,dx = 2\Bigl(\frac{x^2}{2} - 2x\Bigr) + C = x^2 - 4x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y = (x-2)\bigl(x^2 - 4x + C\bigr).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = (x-2)\bigl(x^2 - 4x + C\bigr),
com C constante arbitrária.

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