Certo questionário, com 6 perguntas a serem respondidas com SIM ou NÃO, foi aplicado a
pessoas, que responderam a todas as perguntas. Qual é o menor valor de
para o qual é possível garantir que haja pelo menos duas pessoas que deram exatamente as mesmas respostas a essas perguntas?
A) 7
B) 13
C) 65
D) 129
E) 257
A) 7
B) 13
C) 65
D) 129
E) 257
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um questionário com 6 perguntas, cada uma podendo ser respondida com “SIM” ou “NÃO”. Foram aplicadas a
pessoas, e todas responderam todas as perguntas. Queremos descobrir qual é o menor valor de
que garante que pelo menos duas pessoas tenham dado exatamente as mesmas respostas em todas as perguntas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Princípio da Casa dos Pombos da combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar quantas combinações diferentes de respostas são possíveis para as 6 perguntas. Como cada pergunta tem 2 opções (“SIM” ou “NÃO”), o número total de combinações é dado por
.
Portanto, existem 64 possibilidades diferentes de respostas para o questionário.
Passo 3
Agora, queremos garantir que pelo menos duas pessoas tenham a mesma combinação de respostas. Segundo o Princípio da Casa dos Pombos, se tivermos mais “pombos” (neste caso, pessoas) do que “casas” (combinações de respostas), pelo menos uma “casa” terá pelo menos dois “pombos”.
Como temos 64 combinações possíveis, para garantir que pelo menos duas pessoas compartilhem a mesma combinação, precisamos ter mais pessoas do que combinações.
Passo 4
Portanto, o menor número de pessoas necessário para garantir isso é 64 + 1 = 65.
Resposta
C) 65