O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo principal aqui é usar substituição para transformar em uma integral de função trigonométrica em , e depois aplicar identidades de tangente e secante para integrar.
Passo 2
Fazemos a substituição
Com isso a integral original vira
Passo 3
Usamos a identidade para reescrever
Passo 4
Para a primeira parte fazemos , logo . Assim
Para a segunda parte lembramos que
Portanto, somando as duas partes,
integral tan^3(u),du =tan^2(u)2 ;+;lnl|cos(u)r| ;+;C
Passo 5
Voltando à variável original u=lntheta, obtemos
integral 1theta,tan^3l(ln thetar),dtheta =12,tan^2l(lnthetar) +lnl|cos(lntheta)r| + C
Resposta
boxed integral 1theta,tan^3l(ln thetar),dtheta =12,tan^2l(lnthetar) +lnl|cos(lntheta)r| + C