Resolva
integral 1theta tg^3(ln theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1theta,tan^3l(ln thetar),dtheta
O conteúdo principal aqui é usar substituição para transformar em uma integral de função trigonométrica em u, e depois aplicar identidades de tangente e secante para integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = ln theta Longrightarrow du = dthetatheta
Com isso a integral original vira
integral 1theta,tan^3l(ln thetar),dtheta =integral tan^3(u),du

Passo 3

Usamos a identidade tan^2(u)=sec^2(u)-1 para reescrever
integral tan^3(u),du =integral l(sec^2(u)-1r),tan(u),du =integral sec^2(u),tan(u),du ;-;integral tan(u),du

Passo 4

Para a primeira parte fazemos w=tan(u), logo dw=sec^2(u),du. Assim
integral sec^2(u),tan(u),du =integral w,dw =w^22 =tan^2(u)2
Para a segunda parte lembramos que
integral tan(u),du =-lnl|cos(u)r|
Portanto, somando as duas partes,
integral tan^3(u),du =tan^2(u)2 ;+;lnl|cos(u)r| ;+;C

Passo 5

Voltando à variável original u=lntheta, obtemos
integral 1theta,tan^3l(ln thetar),dtheta =12,tan^2l(lnthetar) +lnl|cos(lntheta)r| + C

Resposta

boxed integral 1theta,tan^3l(ln thetar),dtheta =12,tan^2l(lnthetar) +lnl|cos(lntheta)r| + C

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