Em certo sistema marítimo de navegação, duas estações de rádio, localizadas na costa, nos pontos A e B, transmitem simultaneamente sinais de rádio para qualquer ponto onde está localizada uma embarcação que recebe esses sinais, o computador d bordo da embarcação calcula a diferença, PA-PB, das distâncias da embarcação a cada uma das estações. Um navio que estava ancorado no mar recebeu o sinal da estação localizada em B e, 120 microssegundos ( mu s ) depois, recebeu o sinal da estação localiza em A, conforme a figura.
Considere as estações de rádio e o ponto P onde esse navio estava ancorado como pontos de um plano cartesiano, onde a unidade comprimento é o quilômetro e A(-30,0) e B(30,0). Nesse contexto, é correto afirmar que a hipérbole com focos nos pontos A e B que contém o ponto P tem como equação a expressão: Dados: 1 s=10^6 mu s A velocidade do sinal de rádio é de 300000 km / s.
Escolha uma opção:
x^2361-y^2676=1
x^2676-y^2361=1
Nenhuma das demais alternativas
x^2289-y^2625=1
x^2324-y^2576=1
x^2576-y^2324=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de navegação marítima com duas estações de rádio nos pontos A(-30, 0) e B(30, 0) na costa. Um navio recebe o sinal de B e, 120 microssegundos depois, o de A . Queremos descobrir qual é a equação da hipérbole que representa todos os possíveis pontos onde o navio pode estar, sabendo que a velocidade do sinal de rádio é de 300.000 , km/s . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma hipérbole e como relacionar a diferença de distâncias aos focos dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o tempo que o sinal demorou para chegar de microssegundos para segundos. Sabemos que 1 , s = 10^6 , mus , então:
120 , mus = 120 times 10^-6 , s = 0,00012 , s

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de distância que essa diferença de tempo gera. Sabendo que a velocidade do sinal é de 300.000 , km/s :
De<a d = velocidade times tempo = 300.000 , km/s times 0,00012 , s = 36 , km
Então, a diferença entre as distâncias do navio aos pontos A e B é de 36 km, ou seja:
|PA - PB| = 36 , km

Passo 4

Sabemos que em uma hipérbole, |PA - PB| = 2a , onde 2a é a distância entre os vértices da hipérbole. Então:
2a = 36 , km Rightarrow a = 18 , km

Passo 5

Os pontos A e B são os focos da hipérbole e estão separados por 2c = 60 , km (de -30 a 30 no eixo x). Então:
c = 30 , km
Agora, usamos a relação fundamental da hipérbole:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores:
30^2 = 18^2 + b^2 Rightarrow 900 = 324 + b^2 Rightarrow b^2 = 576 Rightarrow b = 24 , km

Passo 6

Com a = 18 , km e b = 24 , km , a equação padrão da hipérbole centrada na origem com eixo transverso no eixo x é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Substituindo os valores de a^2 e b^2 :
x^2324 - y^2576 = 1

Resposta

A equação correta da hipérbole é x^2324-y^2576=1 .

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