Encontre a solução da EDO linear de 1^ a ordem.
y^prime+x^2 y=4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação que temos é:
y' + x^2 y = 4x^2
Aqui, o conteúdo que vamos usar é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão:
y' + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
P(x) = x^2 e Q(x) = 4x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna a equação exata e mais fácil de resolver. O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular essa integral:
mu(x) = e^integral x^2 dx = e^x^33

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^x^33 y' + e^x^33 x^2 y = e^x^33 cdot 4x^2
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) y:
ddx ( e^x^33 y ) = 4x^2 e^x^33

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^x^33 y ) dx = integral 4x^2 e^x^33 dx
O lado esquerdo simplifica para:
e^x^33 y = integral 4x^2 e^x^33 dx + C

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo substituição:
Seja u = x^33, então du = x^2 dx.
A integral fica:
integral 4x^2 e^x^33 dx = 4 integral e^u du = 4 e^u + C = 4 e^x^33 + C

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
e^x^33 y = 4 e^x^33 + C
Agora, isolamos y:
y = 4 + C e^-x^33

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 4 + C e^-x^33

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