Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+4 y=0, x>0 ; y1(x)=x^-2 e y2(x)=x^2 ln x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente verificar se as funções y1(x) = x^-2 e y2(x) = x^2 ln x são soluções da equação diferencial dada:
x^2 y'' + 5x y' + 4 y = 0, x > 0
Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas de cada função e substituir na equação para ver se a igualdade se mantém. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a função y1(x) = x^-2 .
Passo 2.1: Calculando a primeira derivada de y1 .
y1'(x) = ddx (x^-2) = -2x^-3
Passo 2.2: Calculando a segunda derivada de y1 .
y1''(x) = ddx (-2x^-3) = 6x^-4

Passo 3

Agora, vamos substituir y1 , y1' e y1'' na equação diferencial:
x^2 y1'' + 5x y1' + 4 y1 = x^2(6x^-4) + 5x(-2x^-3) + 4(x^-2)
Simplificando cada termo:
= 6x^-2 - 10x^-2 + 4x^-2
Somando os termos:
= (6 - 10 + 4)x^-2 = 0

Passo 4

Como a substituição resultou em 0, que é o lado direito da equação diferencial, isso confirma que y1(x) = x^-2 é, de fato, uma solução da equação.
Agora, vamos fazer o mesmo para y2(x) = x^2 ln x .
Passo 4.1: Calculando a primeira derivada de y2 .
Usando a regra do produto:
y2'(x) = ddx (x^2) cdot ln x + x^2 cdot ddx (ln x) = 2x ln x + x^2 cdot 1x = 2x ln x + x
Passo 4.2: Calculando a segunda derivada de y2 .
Derivando y2' :
y2''(x) = ddx (2x ln x) + ddx (x) = 2 ln x + 2x cdot 1x + 1 = 2 ln x + 2 + 1 = 2 ln x + 3

Passo 5

Vamos agora substituir y2 , y2' e y2'' na equação diferencial:
x^2 y2'' + 5x y2' + 4 y2 = x^2(2 ln x + 3) + 5x(2x ln x + x) + 4(x^2 ln x)
Distribuindo x^2 e 5x :
= 2x^2 ln x + 3x^2 + 10x^2 ln x + 5x^2 + 4x^2 ln x
Agora, somando os termos semelhantes:
Termos com ln x :
2x^2 ln x + 10x^2 ln x + 4x^2 ln x = 16x^2 ln x
Termos sem ln x :
3x^2 + 5x^2 = 8x^2
Então temos:
16x^2 ln x + 8x^2

Passo 6

A equação diferencial original é igual a zero, ou seja:
x^2 y'' + 5x y' + 4 y = 0
Comparando com o resultado da substituição:
16x^2 ln x + 8x^2 neq 0

Resposta

A função y1(x) = x^-2 é solução da equação diferencial dada, enquanto y2(x) = x^2 ln x não satisfaz a equação diferencial.

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