Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente verificar se as funções
e
são soluções da equação diferencial dada:
Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas de cada função e substituir na equação para ver se a igualdade se mantém. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a função
.
Passo 2.1: Calculando a primeira derivada de
.
Passo 2.2: Calculando a segunda derivada de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Somando os termos:
Passo 4
Como a substituição resultou em 0, que é o lado direito da equação diferencial, isso confirma que
é, de fato, uma solução da equação.
Agora, vamos fazer o mesmo para
.
Passo 4.1: Calculando a primeira derivada de
.
Usando a regra do produto:
Passo 4.2: Calculando a segunda derivada de
.
Derivando
:
Passo 5
Vamos agora substituir
,
e
na equação diferencial:
Distribuindo
e
:
Agora, somando os termos semelhantes:
Termos com
:
Termos sem
:
Então temos:
Passo 6
A equação diferencial original é igual a zero, ou seja:
Comparando com o resultado da substituição:
Resposta
A função
é solução da equação diferencial dada, enquanto
não satisfaz a equação diferencial.