Um certo sistema mecânico com um grau de liberdade tem hamiltoniana
H=\frac{1}{2}\left[(p-a q)^{2}+\omega^{2}(q+b l)^{2}\right]
\operatorname{com} \omega, a e b constantes. (i) Prove que a transformação Q=q+b t, P=p-a q+b é canônica e determine uma função geradora. (ii) Mostre que a hamiltoniana transformada é K=\left(P^{2}+\omega^{2} Q^{2}\right) / 2. (iii) Usando a solução bem conhecida das equaçōes de movimento nas novas variáveis, retorne às variáveis originais para obter q(t). (d) Prove que
R(q, p, t)=\frac{1}{2}(p-a q+b)^{2}+\frac{\omega^{2}}{2}(q+b t)^{2}
é constante de movimento.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema hamiltoniano com uma só coordenada q e momento conjugado p, cuja hamiltoniana é
H(q,p,t)=\frac12\bigl[(p - a\,q)^{2}+\omega^{2}(q + b\,t)^{2}\bigr],
onde a,b,\omega são constantes. Precisamos:
1. Mostrar que a transformação
Q = q + b\,t,\quad P = p - a\,q + b
é canônica e encontrar sua função geradora.
2. Obter a nova hamiltoniana K(P,Q).
3. Resolver as equações de movimento em (Q,P) e voltar a q(t).
4. Provar que
R(q,p,t)=\frac12\bigl(p - a\,q + b\bigr)^{2}+\frac{\omega^{2}}{2}\bigl(q + b\,t\bigr)^{2}
é constante de movimento.

Passo 2

Para exibir um gerador do tipo F_{2}(q,P,t), suponha
F_{2}(q,P,t)=\bigl(q + b\,t\bigr)\,P+\frac{a}{2}\,q^{2}-b\,q.
Então
p=\frac{\partial F_{2}}{\partial q} =P+a\,q-b, \quad Q=\frac{\partial F_{2}}{\partial P} =q+b\,t,
ou seja
P=p - a\,q + b, \quad Q=q + b\,t,
como desejado. Logo a transformação é canônica com função geradora F_{2} acima.

Passo 3

Expressamos H em (Q,P) e somamos \partial F_{2}/\partial t:
p - a\,q = P - b, \quad q + b\,t = Q, \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial t}=b\,P.
Assim
H(q,p,t) =\frac12\bigl[(P - b)^{2}+\omega^{2}Q^{2}\bigr],
e a nova hamiltoniana é
K(P,Q) =H+\frac{\partial F_{2}}{\partial t} =\frac12\bigl[(P - b)^{2}+\omega^{2}Q^{2}\bigr]+b\,P.
Reorganizando e descartando a constante b^{2}/2,
K(P,Q) =\frac12\bigl(P^{2}+\omega^{2}Q^{2}\bigr).

Passo 4

As equações de Hamilton para K são as do oscilador harmônico:
\dot Q=\frac{\partial K}{\partial P}=P, \quad \dot P=-\frac{\partial K}{\partial Q}=-\omega^{2}Q.
A solução geral é
Q(t)=Q_{0}\cos(\omega t)+\frac{P_{0}}{\omega}\sin(\omega t), \quad P(t)=-\omega\,Q_{0}\sin(\omega t)+P_{0}\cos(\omega t),
onde \;Q_{0}=Q(0)=q_{0},\;P_{0}=P(0)=p_{0}-a\,q_{0}+b.

Passo 5

Voltando a q, usamos q=Q-b\,t. Logo
q(t) =Q(t)-b\,t =q_{0}\cos(\omega t) +\frac{p_{0}-a\,q_{0}+b}{\omega}\,\sin(\omega t) -b\,t.

Passo 6

Definindo
R(q,p,t) =\frac12\bigl(p - a\,q + b\bigr)^{2} +\frac{\omega^{2}}{2}\bigl(q + b\,t\bigr)^{2},
vemos que R(q,p,t)=K(P,Q). Como K é constante (não depende de t explicitamente) e a transformação é canônica, segue que \dot R=0, isto é, R é constante de movimento.

Resposta

(i) A transformação é canônica com função geradora
F_{2}(q,P,t)=\bigl(q + b\,t\bigr)P+\frac{a}{2}q^{2}-b\,q.
(ii) A hamiltoniana transformada é
K(P,Q)=\frac12\bigl(P^{2}+\omega^{2}Q^{2}\bigr).
(iii) A solução em q(t) é
q(t) =q_{0}\cos(\omega t) +\frac{p_{0}-a\,q_{0}+b}{\omega}\sin(\omega t) -b\,t.
(d) A função
R(q,p,t) =\frac12\bigl(p - a\,q + b\bigr)^{2} +\frac{\omega^{2}}{2}\bigl(q + b\,t\bigr)^{2}
é constante de movimento.

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