Um certo sistema mecânico com um grau de liberdade tem hamiltoniana
e
constantes. (i) Prove que a transformação
é canônica e determine uma função geradora. (ii) Mostre que a hamiltoniana transformada é
. (iii) Usando a solução bem conhecida das equaçōes de movimento nas novas variáveis, retorne às variáveis originais para obter
. (d) Prove que
é constante de movimento.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema hamiltoniano com uma só coordenada
e momento conjugado
, cuja hamiltoniana é
onde
são constantes. Precisamos:
. Mostrar que a transformação
é canônica e encontrar sua função geradora.
. Obter a nova hamiltoniana
.
. Resolver as equações de movimento em
e voltar a
.
. Provar que
é constante de movimento.
Passo 2
Para exibir um gerador do tipo
, suponha
Então
ou seja
como desejado. Logo a transformação é canônica com função geradora
acima.
Passo 3
Expressamos
em
e somamos
:
Assim
e a nova hamiltoniana é
Reorganizando e descartando a constante
,
Passo 4
As equações de Hamilton para
são as do oscilador harmônico:
A solução geral é
onde
.
Passo 5
Voltando a
, usamos
. Logo
Passo 6
Definindo
vemos que
. Como
é constante (não depende de
explicitamente) e a transformação é canônica, segue que
, isto é,
é constante de movimento.
Resposta
(i) A transformação é canônica com função geradora
(ii) A hamiltoniana transformada é
(iii) A solução em
é
(d) A função
é constante de movimento.