Uma partícula em movimento unidimensional sujeita a uma força constante F possui hamiltoniana H=p^{2} / 2 m-F q. (i) Encontre uma transformação canônica tal que a hamiltoniana transformada seja K(Q, P)=P. (ii) Resolva as equações de Hamilton para as novas variáveis canônicas e retorne às variáveis originais para obter q(t).

Passo 1

O enunciado dá uma partícula unidimensional com Hamiltoniana
H = \frac{p^{2}}{2m} - F\,q
sujeita a força constante F.
(i) Queremos uma transformação canônica (q,p)\to(Q,P) tal que a nova Hamiltoniana seja
K(Q,P)=P.
(ii) Depois, resolvemos as equações de Hamilton em (Q,P) e voltamos a (q,p) para obter q(t).

Passo 2

Para ter K=P, basta definir o novo momento igual à antiga Hamiltoniana e escolher um Q que torne o par canônico. Tomamos
P = \frac{p^{2}}{2m} - F\,q, \qquad Q = \frac{p}{F}.
Verificamos a canonicidade pelo colchete de Poisson:
\{Q,P\} = \frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial q} = 0\cdot\frac{p}{m} - \frac{1}{F}\cdot(-F) =1.
Como P=H, a Hamiltoniana expressa em (Q,P) é
K(Q,P)=P.

Passo 3

Escrevemos as equações de Hamilton para K=P:
\dot{Q} = \frac{\partial K}{\partial P} = 1, \qquad \dot{P} = -\frac{\partial K}{\partial Q} = 0.
Dessas segue
Q(t)=t+Q_{0}, \qquad P(t)=P_{0}.
Em t=0 temos Q_{0}=p_{0}/F e P_{0}=p_{0}^{2}/(2m)-Fq_{0}.

Passo 4

Voltando às variáveis originais: de Q=p/F vem
p(t)=F\,Q(t)=F\bigl(t+Q_{0}\bigr)=p_{0}+F\,t.
E de P=(p^{2}/2m)-Fq obtemos
q(t) = \frac{\displaystyle \frac{p(t)^{2}}{2m} - P_{0}}{F} = q_{0} + \frac{p_{0}}{m}\,t + \frac{F}{2m}\,t^{2}.

Resposta

q(t) = q_{0} + \frac{p_{0}}{m}\,t + \frac{F}{2m}\,t^{2}.

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