Uma partícula em movimento unidimensional sujeita a uma força constante
possui hamiltoniana
. (i) Encontre uma transformação canônica tal que a hamiltoniana transformada seja
. (ii) Resolva as equações de Hamilton para as novas variáveis canônicas e retorne às variáveis originais para obter
.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula unidimensional com Hamiltoniana
sujeita a força constante
.
(i) Queremos uma transformação canônica tal que a nova Hamiltoniana seja
(i) Queremos uma transformação canônica
(ii) Depois, resolvemos as equações de Hamilton em
e voltamos a
para obter
.
Passo 2
Para ter
, basta definir o novo momento igual à antiga Hamiltoniana e escolher um
que torne o par canônico. Tomamos
Verificamos a canonicidade pelo colchete de Poisson:
Como
, a Hamiltoniana expressa em
é
Passo 3
Escrevemos as equações de Hamilton para
:
Dessas segue
Em
temos
e
.
Passo 4
Voltando às variáveis originais: de
vem
E de
obtemos