Para que valores de \alpha e \beta a transformação
Q=q^{\alpha} \cos \beta p \quad, \quad P=q^{\alpha} \operatorname{sen} \beta p
é canônica?

Passo 1

O enunciado dá a transformação no espaço de fase (q,p):
Q = q^{\alpha}\cos(\beta p),\quad P = q^{\alpha}\sin(\beta p)
e pede para achar \alpha e \beta tais que a transformação seja canônica. Isso significa que ela deve preservar a forma de Poisson, isto é,
\{Q,P\} = 1.

Passo 2

Recordamos que o colchete de Poisson em coordenadas canônicas (q,p) é
\{Q,P\} = \frac{\partial Q}{\partial q}\,\frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p}\,\frac{\partial P}{\partial q}.
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

As derivadas são:
\frac{\partial Q}{\partial q} = \alpha\,q^{\alpha-1}\cos(\beta p), \quad \frac{\partial Q}{\partial p} = -\,q^{\alpha}\,\beta\,\sin(\beta p),
\frac{\partial P}{\partial q} = \alpha\,q^{\alpha-1}\sin(\beta p), \quad \frac{\partial P}{\partial p} = q^{\alpha}\,\beta\,\cos(\beta p).

Passo 4

Substituindo em \{Q,P\}:
\{Q,P\} = \bigl(\alpha\,q^{\alpha-1}\cos(\beta p)\bigr)\bigl(q^{\alpha}\beta\cos(\beta p)\bigr) - \bigl(-q^{\alpha}\beta\sin(\beta p)\bigr)\bigl(\alpha\,q^{\alpha-1}\sin(\beta p)\bigr).
Isso dá
\{Q,P\} = \alpha\beta\,q^{2\alpha-1}\bigl(\cos^2(\beta p)+\sin^2(\beta p)\bigr) = \alpha\beta\,q^{2\alpha-1}.

Passo 5

Para que \{Q,P\}=1 para todo q, precisamos de
2\alpha -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \tfrac12,
e
\alpha\beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac1\alpha = 2.

Resposta

\displaystyle \alpha = \tfrac12,\quad \beta = 2.

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